Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ
291
Полагая
P = exp{i S ^f(u)duj, ехр| 2^-получим
JW)=?i ckzk.
k=0
Таким образом,
ап — д/2яРс„. (10)
Перейдем к процессам с непрерывным временем. Обобщением операции скользящего суммирования на случайные процессы с непрерывным временем может служить операция, ставящая в соответствие случайному процессу |(t) процесс г](/)» t е(— оо, оо), по формуле
оо
г]{t)=\ja(s)dl(t — s). (11)
о
Будем называть процесс с ортогональными приращениями %(t) стандартным, если
М|(0 = 0, М || (if + А) —1(0 I2 = /г.
В соответствии с тем, что было сказано в § 4 о стохастическом интеграле Стилтьеса, процессу |(t) соответствует некоторая стохастическая ортогональная мера |(Л) на а-алгебре множеств, измеримых по Лебегу. Эту меру также будем называть стандартной стохастической мерой. Для существования интеграла (11) необходимо и достаточно, чтобы a(t) была измерима по Лебегу и
оо
^ | a (t) |2 dt < оо.
о
Заметим, что стандартный процесс §(/) не с.к. дифференцируем. Однако отношения
{{ \ ^ {t'k + \ “Ь Л) Е (tk) A J 1
— Д ’ —+ l tk’
при всех tk и сколь угодно малых Д ортогональны. Таким образом, фиктивную производную ?'(/) следовало бы рассматривать как процесс, значения которого в любые два момента времени ортогональны, а их дисперсия бесконечна. Этот фиктивный процесс часто вводят в рассуждения и называют белым шумом.
292 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Точное определение белого шума дается в рамках теории обобщенных случайных процессов (И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин [1]). Символически формулу (11) можно записать в виде
t
Л (О = ^ a(t — S)l' (s)ds
— оо
и интерпретировать т](/) как реакцию физически осуществимого фильтра на белый шум. Импульсная переходная функция этого фильтра равна нулю при t < 0 и a(t) при t > 0. Отметим, что все допустимые для процесса (t) физически осуществимые фильтры исчерпываются формулой (11). Действительно, всякий допустимый физически осуществимый фильтр по определению или имеет вид (11) или является предельным для фильл'ров такого вида. Условие с. к. сходимости фильтров вида (11) с импульсными переходными функциями an(t) состоит в следующем:
оо
^ | ап (s) — ап> (s) Р ds -*¦ 0 при п, п' -> оо.
о
Нф если это условие выполнено, то существует l.i.m. ап (t) =: = a(t) (относительно лебеговой меры на (0, оо)) и
оо оо
l.i.m. т]„ (О = l.i.m. ^ ап (s) d\ {t — s) = ^ a (s) d% (t — s).
о 0
Таким образом, предельный переход в фильтрах вида (11) не расширяет класса фильтров.
Формулу (11) можно переписать следующим образом:
оо
г] (О = ^ a(t — s)dl,(s), а(0 = 0 при t < 0.
— оо
Следовательно, корреляционная функция процесса ri(0 равна
оо
R(t)= ^ a(t + s — и) a(s — и) du,
— оо
или
со
R (0 = ^ a {t + s) a{s) ds. (12)
о
Лемма 2. Для того чтобы стационарный (в широком смысле) процесс т] (/) являлся реакцией физически осуществи-
§ 5] ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 293
мого фильтра на подчиненный процессу белый шум, необходимо и достаточно, чтобы процесс т](0 обладал абсолютно не-
прерывной спектральной мерой и его спектральная плотность f(u) допускала представление
f(u) = \h(iu)\2, (13)
где
оо оо
h(iu) = J b(s)e~iusds, J | b (s) f ds < oo. (14)
о 0
Доказательство. Необходимость. Пусть процесс r](f) допу-
оо
скает представление (11). Положим h (iu) = ^ a(s)e~isu ds.
о
В силу равенства Парсеваля
оо оо
R (t) = J a (t + s) a (s) ds — J eiat \ h (iu) \2 du,
0 — oo
т. e. спектр процесса абсолютно непрерывен и спектральная плотность имеет вид (13), (14).
Достаточность. Пусть выполнены условия леммы. Рассмотрим спектральное представление процесса т]^);
