Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
f(u) = \g(eiu)\2, g(eiu) = Zbneinu, Е|6„Р<оо. (4)
л = О п=0
Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность представима в виде (1). Положим
wXV“ (5>
л-0
Тогда по формуле Парсеваля
оо JX
Дт|(0 = 5]а„+/ап= J ettu\ g(eiu)\2du,
n-o —я
т. е. последовательность г) (п) имеет абсолютно непрерывный спектр с плотностью f (и) = |g(eiu) |2.
Достаточность. Пусть ту(л)—последовательность с корреляционной функцией
Я
R^(t)=\eitaf(u)du
-Я
286 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
и /(«) = |g(eiu) |2, где g(eiu) определяется соотношениями (4). Последовательность т)(л) имеет спектральное представление
Я
^(n)=\einuZ(du).
“Я
На с-алгебре борелевских множеств отрезка [—я, л) построим стохастическую меру
Я
6М)= \ —L===%A(u)tm.
_J„ V2n g (еш)
Тогда
Я
М| М) 05) -1 щ М X, (и) I (U)du~ j. du,
т. е. |(Л) является ортогональной мерой со структурной функцией 1(А[\В), где I — мера Лебега. Используя леммы 2 и 1 § 2, получим
Л Я
т| (л) = \ e,nui (du) = J e,nu д/2л iVO I (du) =
— Я —Я
oo Я oo
— Yj л/2я bk $ *?' <"-*> “I (du) = ]T aA? (n — k),
A=0 —Я ft—0
где
л
я„ = д/2я bn, l(n)= J eia%(du)
П
M l(n)l(m) = -~ ^ e* (n~m)u du = bnm.
-Я
Таким образом, \(ri) является стандартной последовательностью. ¦
Доказанная лемма дает простой ответ на поставленный вопрос. Но этот ответ в общем случае недостаточно эффективен, так как остается неясным, когда спектральная плотность может быть представлена формулой (4).
Найдем условия, при которых /(«) допускает представление (4). Обозначим через Н2 множество всех функций /(г),
4 51 ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫЕ ФИЛЬТРЫ 287
аналитических в круге D = {г: |г| < 1} и таких, что
Я
|| f (г) II2 = lim \ |f (геш) f dQ < оо.
r+1 Л
оо оо
Если f (г) = ? то f (re'9) = ? апг"еШ> т- е- апгп являются п=о ««о
коэффициентами Фурье функции f (ге‘0). В силу равенства Пар-сев аля
Л оо
J \f{rem)fdQ = 2nY\anfr2n.
—я п=0
Отсюда видно, что f(z)eW2 тогда и только тогда, когда
Е|апР< оо.
гс=о
Следовательно, для каждой функции /(г)еЯ2 можно опреде-
оо
лить ряд f (eie) = Е апе‘пв, сходящийся в S2{1), ГДе I — лебе-
П = 0
гова мера на [—л, я). Функция f(z) (|г|<; 1) восстанавливается через функцию /(е‘9) по формуле Пуассона
Я
f (reie) = \ f (е<“)р (г> 0- “) du> (6)
“Я
где
оо
Р (г 0 и\ — --------1 ~ f2-------— V Г1 п \airi (8—и)
и) 1 — 2r cos (0 — и) + г2 L, Г в
П^ж —ОО
Доказательство этого утверждения непосредственно вытекает из равенства Парсеваля.
В теории функций доказывается (см. И. И. Привалов [1]), что если в формуле (6) функция f(eie) интегрируема по Лебегу, то почти для всех 0 существует
lim f (ге‘9) = f (е‘9).
г + 1
Функцию f(eie) называют граничным значением функции /(г)
(Iг I < 1) •
Теорема 1. Пусть f(u)—неотрицательная и интегрируемая по Лебегу функция на [—л, л). Для того чтобы существовала функция g(z)s Н2 такая, что
f(u) = \g(eiu)f, (7)
288 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
необходимо и достаточно, чтобы
Я
^ | \nf(u) \du < оо. (8)
— Я
оо
Доказательство. Необходимость. Пусть ?(г)= ^й/еЯ2
л*=0
и (7) имеет место. Можно считать, что ?(0)=т^0 (в противном случае вместо g(z) можно рассмотреть z~mg(z), где m — кратность нуля 2 = 0 функции g(2), и положить |g(0) | = 1). Пусть 0<К1 и А — {и: \g{reiu) |< 1}, В = {«: \g{reiu)i| > 1}.
