Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ряд в правой части последней формулы сходится равномерно по и во всяком отрезке [—В', В'\ В' < В, и имеет ограниченные частные суммы, а потому сходится и в i?2{m0}. В силу изоморфизма пространств ^ {/п0} и З’гЦ} имеем (в смысле с. к. сходимости)
tw- t (10)
ft ** - ОО
Таким образом, значение случайной функции l(t) в любой момент времени t однозначно восстанавливается по ее значениям в равноотстоящие моменты времени лп/В, п = 0, ±1, ±2, ...
Для стационарных векторных последовательностей п — = 0, ±1, ±2, ..., можно сформулировать теорему, полностью аналогичную теореме 2. Отличие состоит в том, что спектраль-
§ 3] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ 273
ная мера последовательности сосредоточена на полуинтервале [—я, я), а не на всей вещественной прямой, как в случае процесса с непрерывным временем (см. теорему 1 § 2).
Из теорем 1 и 2 § 2 вытекает следующее обобщение теоремы 2 о спектральном разложении однородного с. к. непрерывного поля.
Теорема 3. Векторное однородное с. к. непрерывное поле \ (х), х е 32т, может быть представлено в виде
|(*) = а+ \ e{(x’%(du), а = Щ(х), ят
где ? — векторная ортогональная мера на Эт, подчиненная полю ?(*). Между 3?2{1} и Яда}, Fo(-)= Sp F(-), существует изометрическое соответствие, при котором
а) ?(*)-«->e( <*>“>;
б) если ti(ч—> gi (и), r^GE^d}, gt (и) е= 9?2 {Fq}, / = 1,2, то
Л| J 8t(u)t(du),
ят
S ffi (“) ё2 (и) F {du). ят
Следствие. Если однородное поле %(х) (М|(х) = 0)'
'(скалярное) имеет ограниченный спектр, т. е.
вт
R(x) = 5 ... 5 е((*,и)р{du),
-*1 ~Вт
то оно однозначно определяется своими значениями в точках
f ( ППХ ПП2 ППт \ ь п . л . г. 1
решетки = -щ-, ..., ~^) , « — 0, ±1, ±2, ... J по
формуле
m ь ь
V ТТ sin (.Sfe** — пп*) + {пп1 л/г2 ппт\ /11Ч
,Л «,М в,;»-»,*' H-sr’ir......................"srJ-(ll)
п={п,..„п ) a~1
в которой суммирование производится по всевозможным целочисленным векторам п и ряд в правой части при каждом х сходится в среднем квадратическом.
Рассмотрим еще спектральное разложение с. к. непрерывного изотропного двумерного случайного поля. На основании формулы (Ю) § 5 гл. I корреляционная функция поля имеет
274
ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
ВИД
оо
R (хь х2) = R (р) = J /0 (ир) g (du), (12)
о
где Х] и Х2 — точки плоскости, р — расстояние между ними. Если (ru Qi)—полярные координаты точки xt (i — 1, 2), то
Р = *Jr\ + г\ - 2/у2 cos (0, - 02).
Используя формулу сложения для функции Jo-
Л)(«р)= ? Jk(urx) Jk(ur2)eik <е'-ег),
Л* — оо
перепишем формулу (12) в виде
оо оо
R (р) = ^ $ К (иг,) eive‘/v (ur2) e^g (du) е (dv),
О —сю
где e(rfv)— мера, сосредоточенная в точках k = О, ±1, ±2, ..., причем е ({&})= 1. В силу теоремы 1 плоское, изотропное, однородное и с. к. непрерывное поле !(*), х = reie (М?(*)=0) допускает представление вида
оо оо
?(*)= у eik°\jk(ur)Zk(du), (13)
А = — оо О
где t,h — последовательность ортогональных между собой стохастических мер на прямой [0, оо).
§ 4. Линейные преобразования
Представим себе некоторую систему 2 (прибор или устройство), предназначенную для преобразования сигналов (функций) x(t), зависящих от времени t. Функция, которая должна быть преобразована, называется функцией на входе системы; преобразованная функция — функцией на выходе или реакцией на входную функцию. Математически всякая система задается классом 3) «допустимых» функций на входе и соотношением вида
z(i) = T(x\t),
где х — x(s) (— оо СК оо)— функция на входе, *(s)e 3), a z(t)—значение функции на выходе в момент времени t.
Система 2 называется линейной, если: а) класс допустимых функций 2?> линеен; б) оператор Т удовлетворяет принципу су-
^ 4] ЛИНЕЯНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 275
перпозиции
Т (ах, + |к210 = аТ (*, 10 + рГ (*211).
Введем операцию сдвига времени St (— оо < т < оо) с помощью соотношения
*t(0 = St(* Ю = *(*+ т).
Она определена на множестве всех функций переменной t '(— оо <; t <; оо) и линейна. Система 2 называется однородной во времени (или просто однородной), если класс допустимых функций 2) инвариантен относительно операции сдвига St, Sx2) = 3) и
