Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
J ?«(0)m(rf0), в
тде ?п(0)—монотонно неубывающая последовательность случайных функций, принимающих конечное число значений и таких, что lim ?n(0) = ?(0) V0 е 0. Имеем
М К ? (0) m (rf0) - J ?„ (d0) m (d0) 2 < M J | ? (0) - ?„ (0) I2 m (dQ).
le e 0
Так как 0 ^ ?(0)—?n(0)^ ?(0). то в силу теоремы Лебега
$?(0)m(d0) = l.i.m.$?n(0)m(d0). в 0 Замечание 2. Рассмотрим случайный процесс {?(/),/ s
[а, Ь]}. Интеграл
ь
Jew л
ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
часто определяют как с. к. предел интегральных сумм
fc=l
nk == ink ink—ь о = tnо < tn\ < ... < = b.
Для существования с. к. предела этих сумм в силу леммы I необходимо и достаточно существования предела
я т _____ п т
M/Zt{tnk)Mnk Eutmk) &tmk — Е Е B(tnk, tmr)MnkMmr
Л*»1 k= 1 &=I г®= 1
при п, т—* оо, т. е. интегрируемости по Риману функции-В(/, s) (а ^ s sg: Ь). Таким образом, данное определение интеграла является более узким по сравнению с первоначальным,, но зато оно не связано с понятием измеримости процесса. Легко-убедиться, что, когда применимо последнее определение интеграла, оно приводит (mod Р) к тому же результату, что и исходное*
Действительно,
М
и и
5 Е(0Л-?&(*»*) А*.
nk
ft-I
*nk *nr
= ZZ S S [B(t,s)-B(t,tnr)-B(tnk,s) +
ft-1 Г-l tn^ fe-1 tnt r_i
П П
+ В (tnk, tnr)\ dtds^YZ Q»*r -> 0-
fc«l 1
где Q„fer — колебание функции B(t, s) в прямоугольнике tn,k-i ^
^Я> r— 1 ^ ^ ^nr-
Замечание 3. Под несобственным с. к. интегралом
оо ? оо Ч
5 Е(0Л (или J 5(0л) (7)
—оо ^ а
условимся понимать предел
N / N \
ллп. ^ ?(/)d/ (l.i.m. Jg(0dM.
—N 'а '
Для существования этих интегралов в силу леммы 1 необходимо и достаточно существование пределов
N N' / N N' \
lim f ^ B{t, s)dtds ( lim ^ ? B(/,s)fftds). N.N'-*co JN JN, \N, h'-*oo J J J
252 ЛИНЕЯНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
•Это определение несобственных интегралов в некоторых случаях оказывается более широким, чем понимание интегралов
(7) как интегралов Лебега от функций ?(0 при фиксированном со.
Закон больших чисел. Пусть {?(0. t ^ 0}— измеримый гильбертов процесс с интегрируемой ковариацией на каждом конечном промежутке. Будем говорить, что {?(0. t ^ 0} удовлетворяет закону больших чисел, если в определенном смысле
т
у-^?(0 dt -> с при Т-+оо.
о
Из леммы 1 вытекает, что для существования среднего
г
l.i.т. 4- \ ?(0 dt
т-*°° о
необходимо и достаточно существование предела
Т Т' Т 7"
lim М J l{t)dt-^r- i ? (t) dt= lim -Jp-J \li(t,s)dtds.
r.r-*» о oJ r-r^00 oJ oJ
Далее, для выполнения равенства f г
Lisn. j -i- J ? (ОЛ - -j- \ M? (0 Л | = 0
о 0
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
г г
lim -ур- J J Я (^, s) dt ds = 0,
•8)
где s)— корреляционная функция процесса.
Нетрудно заметить, что
Т Т 2 Г Г Г' Г'
J J Я (/, 5) dt ds j J Я (/, s)dtds ^ ^ (/, 5) dt ds.
0 0 0 0 0 0
Поэтому равенство (8) имеет место тогда и только тогда, когда
f П ГИЛЬБЕРТОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 253
Для стационарного процесса в широком смысле R(t, s) = = R(t — s). Так как
г г
_1_
J2
0 0 -г
II I
^R(t-s)dtds = 4- S Я(0(1
то получаем следующий результат.
Теорема 2. Если Z,(t)— стационарный в широком смысле процесс, то для выполнения равенства
т
= (10)
Т + оо О
необходимо и достаточно, чтобы
г
Hm ~ J R(t)(\ -+jX)dt = 0. (11)
В частности, условие (11) выполняется, если среднее значение корреляционной функции равно нулю:
