Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Если ?,(t)—сепарабельный марковский процесс и
у Р (5, у, t, Se (у)) -> 0
при б —*• 0 и любом фиксированном е > 0 равномерно по у, s, tt 0 ^ t — s б, то процесс %(t) непрерывен.
Здесь Se (х)— дополнение к сфере Se(^) с центром в точке х и радиуса е.
Процессы с независимыми приращениями. Теорема 1 дает только достаточные условия непрерывности случайного процесса. Оказывается, что для частного случая процессов с
240 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. IV
независимыми приращениями условия теоремы 1 являются также и необходимыми.
Теорема 4. Если процесс \{t) с независимыми приращениями непрерывен, то условие (1) выполняется для произвольной последовательности {tnk, k = 0, ..., mn), п = 1,2,..., разбиений отрезка [0, Т], для которой Хп —> 0.
Доказательство. Положим Ал = sup р [| (/i), | (f2)]. В силу
Ifi-i.KA
непрерывности процесса l(t), АЛ->0 при h-*- Ос вероятностью 1.
Поэтому lim Р{А„ > е} = 0. С другой стороны, если Kn<h, то h-> 0
Р {АЛ > е} > Р {sup р [I (tnk), | (fnft-i)] > е} =
= Р{рЙ (U. I (/„о)] > е> Н- Р {р[| (/„,), I (UJ < е} х
mn-1
XP{pE(^),g(UJ>e}+ + П P{p[6(W.6(^-i)]<e}X
ft=I
X Р {р [i (tnmn), I (tn. mn-1)] > e} ^
mn
> P {АЛ < e} Z P {p ll {tnk), I > e>,
k=\
mn
откуда Y P {P IS(*»*). I(^fe-t)] > e}<->0 при h-*0 и
любом e > 0. ¦
Следствие. Случайный процесс l(t) с независимыми приращениями непрерывен тогда и только тогда, когда %(t) является процессом броуновского движения с непрерывным средним а(0 = М?(/) и непрерывной дисперсионной матрицей B(t). Это следствие вытекает из теоремы 4 и теоремы 1 § 3 гл. I. Условие Колмогорова непрерывности случайного процесса. Докажем одно удобное прямое (т. е. не использующее предположения об отсутствии разрывов второго рода) достаточное условие непрерывности случайного процесса. Оно основывается на упрощенном варианте лемм 3 и 4 § 4.
Лемма 1. Пусть %(t), ^е[0, Т], — сепарабельный процесс, удовлетворяющий условию: существуют неотрицательная монотонно неубывающая функция g(h) и функция q(c, h), h^t 0, такие, что
Р {Р (I (t + h), I (t)) > Cg (A)} < q (C, h) (3)
и
G^'Zg(2~nT)<<x>, Q (C) = Z 2"<7 (C, 2~nT) < oo. (4)
n=»0 n=»l
§ 5] НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 241
Тогда
Р { sup р (I (О, I (П) > W < Q (-?¦) (5)
1о<г<г<г
и
р {, Л.р й(,г Е П) > с0 (['*’?]) Н
С). (6)
где
оо оо
G(m)= Z g(2~nT), Q(m, С) — Z 2nq(C, 2~пТ). (7)
rt = m n = m
Для доказательства этой леммы достаточно повторить в упрощенном виде рассуждения из доказательств лемм 3 и 4 § 4. Ограничимся самыми краткими указаниями. Вводим события
Alfe = {p()(-^i7’)’ !(|г7’))<ОК2-ге7’)},
* = 0,1.....2" — 1, п = 0,1,2,...,
ОО 2Л-1
и полагаем Dm= f] f] Тогда
л=»т fe=o
Р {?>„} < Q (п, С).
Из D„ вытекает, что для любых t' и t" из I
Р&т(П)<2СС;
если же, кроме Dn, выполнены неравенства 0 t" — t'^2~nT, то р(|(//), %(t"))^.2CG(n). Рассуждая так же, как и при окончании доказательства упомянутых лемм § 4, получим требуемое. При этом следует иметь в виду, что из условий (3) и (4) вытекает стохастическая непрерывность процесса %(t). ¦ Теорема 5. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда процесс g(t) непрерывен.
В качестве частного случая, когда условия (3) и (4) оказываются выполненными, рассмотрим процесс, удовлетворяющий условию
МрР\КП, l(t")\<L\t"-t'?+r, (8)
где р > 0, г > 0. Положим g{k) = hr 1р, где 0 < г' < г. Тогда G([1g2^])<^,e^, a Q([\g2~},c)^C-pK2B{r~n, где /С, и К2 — некоторые постоянные. Из теоремы 5 вытекает
242 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IV
Следствие 1. Если сепарабельный случайный процесс | (t) удовлетворяет условию (8), то он непрерывен.
Приведем еще одно условие, обеспечивающее выполнение предположений (3), (4), более общее, чем (8). Пусть
Мрр [?(/),?(/ +/г)] < ^L- , р<г. (9)
MgslMI
Если положить g(h) = | lg2| h | Г' 1р, где р<г'<г, то получим
оо
С=211&|2'"г|Г'/Р<оо) Q(C)<---------^------- < оо.
»-о ? CpHg2|2-«r||1+r ''
п = О
Следствие 2. Если сепарабельный процесс l(t) удовлетворяет соотношению (9), то он непрерывен.
Гауссовы процессы. Применим предыдущие результаты к одномерному сепарабельному вещественному гауссовскому процессу l(t), t е [О, Т], с корреляционной функцией R(t) и средним значением 0. Разность l(t + h)—l(t) имеет дисперсию
