Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
а(е, 6) = sup{P[|E(s)-|(0l>el; 0<s<f<s + 6<r}
стремится к нулю при б->0 и любом е > 0. Таким образом, условия теоремы 2 выполняются. ¦
Теорема 2 дает сильные результаты и для марковских процессов.
Теорема 4. Если l(t), t е [0, Т],— сепарабельный марковский процесс со значениями в метрическом пространстве X и с вероятностью перехода p(t,x,s,A), удовлетворяющей условию
а(е, 6) = sup [Р {s, х, t, Se(x)}; х^Х, 0^s^/^s + 6^r]->-0
при 6->0, где <Se(jt) — сфера радиуса е с центром в точке х, 5е(х)—ее дополнение, то процесс ?(/) не имеет разрывов второго рода.
Последнее утверждение непосредственно вытекает из теоремы 2 и определения марковского процесса.
Регуляризация выборочных функций процесса без разрывов второго рода. Ранее уже отмечалось, что, рассматривая функции без разрывов второго рода, отождествляют функции, имеющие в каждой точке одинаковые пределы справа и слева.
Напомним, что если процесс сепарабелен, то значения выборочных функций ?(/) с вероятностью 1 являются предельными значениями последовательностей ?(/г) при ti->t и ^ из множества сепарабельности. Если при этом процесс не имеет разрывов второго рода, то с вероятностью 1 \(t) при каждом t равно l(t — 0) или |(/ + 0).
Теорема 5. Если l(t) — стохастически непрерывный справа процесс без разрывов второго рода со значениями в метрическом пространстве X, то существует эквивалентный ему процесс s'(0> выборочные функции которого непрерывны справа (mod Р).
Доказательство. Событие А: предел lim ) суще-
п -> о° ' ^ '
ствует для каждого /е[0, Т] — имеет вероятность 1. Положим I'(t) = lim | (t + —) в случае А и l'(t) = l(t) в случае А.
П—»оо ' п ’
238 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. IV
Имеем
со
{%' (0 ^ I (0) = U { Р (S w» S'(0) > ^} п л,
ОТ»1
P{l'(i)^Ht)}= lim Р{(Рт, V (0) > П л }.
т->оо ^ пг / )
С другой стороны,
Р{р(Ш.Г(0)>-^} =
“Р{ U fi P(5».5(<+Jr))>l}} =
^ ?=»! tl=*k )
4 n=k /
<mnp{p(i(/),i(/ + ir))>i}.
ТаЙим образом, P{?'(/) Ф ? (/)} = 0. Остается заметить, что на множестве А функция %'(t) непрерывна справа. ¦
§ 5. Непрерывные процессы
Условия непрерывности процесса без разрывов второго рода.
Как и в предыдущем параграфе, предположим, что X — полное метрическое пространство, i(t), i е [0, 7], — случайный процесс со значениями в X.
Определение. Процесс ?(/), t е [0, Т], называется непрерывным, если почти все выборочные функции процесса непрерывны на [0, 7"].
Для процессов, не имеющих разрывов второго рода, можно указать простое достаточное условие непрерывности.
Теорема 1. Пусть {tnk, k = 0, 1, ..., mn), п— 1,2,...,— некоторая последовательность разбиений отрезка [0, Т], 0 = tn0< <tny< ... < tnmn = Г иКп— шах (tnk — tn_ k-i)-> 0 при п~* оо.
" 1 <k<mn
Если процесс %(t) сепарабелен, не имеет разрывов второго рода и
тп
ЦР{рЁ(Ы. > е} —> 0 при А„->0, (1)
k=\
то процесс КО непрерывен.
§ 5] НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ 239
Доказательство. Обозначим через ve (0 ve ^ с») число тех значений t, для которых р[?(* + 0), l(t — 0)] > 2е, а через ve(n> — число таких индексов k, что p[g(fnfc)> g(^b-i)] < е. Очевидно, что ve^ lim v(en>. С другой стороны,
Л-> оо
Mv<«) - ? Р {р It (ink), I (/„*-.)] > е}.
k=\
В силу леммы Фату Mve М lim lim Итак, Mve = 0,
П—> оо п~> оо
т, е. v8 = 0 с вероятностью 1 при любом е > 0. Следовательно, с вероятностью 1 l(t — 0) = l(t + 0) при любом t. В силу сепарабельности процесса l(t)=l(t — 0) = 1(^ + 0), т. е. процесс непрерывен. В
Применим теорему 1 к процессам, удовлетворяющим условиям теоремы 2 § 4. Пусть а(е, б) определяется соотношением (12) §4.
Теорема 2. Если процесс l(t) сепарабелен и
.. Ма (е, б) _
lim----i-==0 (2)
6->0 W
при любом е > 0, то процесс l(t) непрерывен.
Так как при выполнении условия (2) процесс ?,(t) не имеет разрывов второго рода, то достаточно проверить соотношение
(1). Учитывая, что Р{р[Е(^пй), l(^fc-i)] > е} < Ма(е, Atnh), где Дtnh = tnh — tnh-u получим
mn
У‘Р{рЁ(Ы,6(^-.)]>е}<(*-а) max f-1, I<*<n At*k
ft= 1
при Kn —*¦ 0. ¦
Применяя теорему 2 к марковским процессам, получаем следующее условие непрерывности марковского процесса.
