Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
o2(t, h) = R(t + h, t + h)-2R(t, t + h) + R(t, t).
Поэтому
OO
P {11 a + h) — I (0 I > cg(h)} = -2= 5 dt>
a
где a = Cg(h)o~] (t, h). Воспользовавшись неравенством
oo
^ e-^dt^^e-^2, (10)
a
которое нетрудно получить, применяя к левой части неравенства интегрирование по частям, получим
о „и и\
P{ll(^ + *)-i(0l>Cg(/i)}<^^ffe_2o2<^». (11)
V 2я Cg (h)
Теорема 6. Если гауссов процесс удовлетворяет условию
ct2^>a)<T4W’ р>3, (12)
то он непрерывен.
Доказательство. Положим g(h) == | In | h | Гр\ где р'— любое число, удовлетворяющее неравенству 1 < р' < р 2 -¦. Тогда
•S 61
СУБМАРТИНГАЛЫ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА
243
можно принять
tn и\ __ К' —lltilftl
q{C’k) С I In I /г | |P/2-P' 6
и ряды (4) будут сходиться. Отсюда вытекает утверждение теоремы. ¦
§ 6. Субмартингалы непрерывного аргумента
Субмартингалы (супермартингалы, мартингалы) были введены в § 6 гл. III. В настоящем параграфе будет показано, что при весьма широких предположениях субмартингалы (а следовательно, супермартингалы и мартингалы) обладают непрерывными справа модификациями. При этом теоремы о существовании сепарабельной модификации не будут использованы.
Отметим сначала, что установленные в § 1 гл. III неравенства для субмартингалов последовательностей без труда переносятся на субмартингалы g(^), заданные на произвольном счетном множестве S сг[0, оо).
Пусть {gf, t е S} — некоторый поток ст-алгебр, С > 0.
Если {i(t), §*, i е S} — субмартингал, то
sup М|т (0
а) P{sup&W>C}<iH5 ------------. (1)
б) пусть v(.[a, ft], S) — число пересечений отрезка (а, ft] сверху вниз функцией f{t)= ?(/, и) на множестве / <= 5. Тогда
sup М (6 (/) - *)+
MvQa.&l.SX ^-----------5-------; (2)
в) если при некотором р > 1 М[?+(0Т < «>, то
М sup [|+ (0Г < qp sup М [|+ (/)]". (3)
ieS (sS
Доказательство такое же, как и в случае, когда 5 — последовательность S = {1, 2, ..., я, ..
Рассмотрим субмартингал {|(t), g<, t <= [0, оо)}. Предположим, что ffo содержит все множества вероятности 0. Покажем, что при довольно широких условиях существует модификация процесса ?(/), выборочные функции которой с вероятностью 1 имеют пределы слева (t > 0) и непрерывны справа для любых t > 0.
С этой целью выберем некоторое счетное всюду плотное на [0, оо) множество S и рассмотрим сужение \{t) на S.
244
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ. IV
Положим
Nnab = {ю: V ((а, Ь], S Л [0, п]) = оо},
Ln = {со: sup I (t) = + оо, t f= 5 Л [0, п]},
Ln = {со: inf | (0 = — оо, t (= 5 Л [0, п]}.
Из неравенства (2) следует, что p(Nnab) = 0 для любых п, а, Ь. Так как
оо
Р (L„) <? М lim v ((— k, — m], S Л [0, tt] )t
I k->oo
то в силу того же неравенства (2)
оо
PU"XV lim щш + т)+ =0-
к~т
m —1 k>m
Наконец, из неравенства (1) следует, что и P(L'n) — 0. Пусть
оо
N= JJ ((JJ NMb)\}Ln\}LZy
где а и b пробегают множество рациональных чисел. Тогда Р {N) = 0. Нетрудно теперь увидеть, что если ш Щ N, то в любой точке t l(s), seS, имеет пределы слева ?(/—0) и справа + Действительно, если бы при некотором t хотя бы один из этих пределов не существовал бы, например %(t — 0), то величины i/ = lim|(s), a/:=Iim|(s) были бы конечными и не *¦*{ Г5Т
s<t
равными друг другу. Но тогда для произвольной пары рациональных чисел (а, Ь) таких, что а' < а < b < Ь', число пересечений отрезка (а, Ь] процессом ?(s), seS, s < t, было бы бесконечным, что противоречит условию м ф N. Положим для любого / :2s 0 ri (t)—l(t + 0), если ш ф N, и г) (t)=l(t) при (oeiV. Тогда при ш ф N функция г](/) при каждом t ^ О непрерывна справа и имеет предел слева (г](/ — 0)=?(/— 0)). Введем а-алгебры t ^ 0, положив §*+ = f] §s. Оче-
s>t
видно, что {5ж t ^ 0} образуют поток ст-алгебр, %t+ содержат все подмножества вероятности 0 и г](/) 5(+-измерима. Покажем, что {т|(0, dt+, t ^ 0} — субмартингал.
Так как последовательность ?(s„), S! ^ s2 ^ . .. ^ s„ ^ ^ , sn \ s, равномерно интегрируема и сходится к ri(s)
