Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р{?(0, со)=й?(0, со)} = 0. (2)
Положим теперь
g-*(0, со) = g(d, со), если 0eL или если (0, со) е К;
g*(9, а>) = g (0, со), если вфЬ и (0, to) ф К.
Функция g* (0, to) совпадает с g(0,a)mX P-почти для всех (0, to), и поэтому она сг{$Х @}-измерима. Далее, g*(0, to) = g(0, to) при 0е/, так что Л*(0, <в) = Л(0, со), где А* (в, to) — ранее определенное множество А (0, и), построенное по функции g* (0, to)
ИЗМЕРИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ функции
227
и множеству /, и g’(0, со) е Л(0, со) = Л‘(0, со). Таким образом, функция g*{Q, со) сепарабельна. Учитывая (2), получаем Р{g*(9, “) Ф ё(0> “)} — 0 для всех 0е0, т. е. g* (0, со) и g(0, со) стохастически эквивалентны. ¦
Приведем ряд замечаний, обобщающих теорему 1.
Замечание 1. В теореме 1 требование компактности пространств 0 и X может быть заменено требованием локальной компактности и сепарабельности. Действительно, компактность пространства X нужна была только для возможности сослаться на теорему 1 § 2. Теперь можно ссылаться на теорему 2 § 2. При этом сепарабельное и измеримое представление g*(Q, со) функции g(0, со) принимает, вообще говоря, значение из некоторого компактного топологического расширения пространства X. Далее, если пространство 0 локально компактно и сепарабельно, то его можно представить в виде суммы счетного числа компактов. К каждому такому слагаемому в отдельности применимы предыдущие рассуждения, откуда следует утверждение теоремы и для объединения. Более того, при этом мера т не обязана быть конечной, достаточно, чтобы она была ст-конечной.
Замечание 2. Утверждение теоремы 1 имеет место для того случая, когда 0 иХ—евклидовы конечномерные пространства и мера {т, й} есть лебегова мера в 0.
Заметим теперь, что доказательство теоремы 1 упростилось бы, если не требовать сепарабельности измеримого представления заданной случайной функции. Множество I при этом не привлекалось бы к рассмотрению. Из свойств пространства X использовалась бы только полнота пространства.
Замечание 3. Если X — полное метрическое пространство, ^0 — локально компактное сепарабельное пространство, т — ст-конечная мера на ст-алгебре, содержащей борелевские множества 0, то случайная функция g(Q, со) со значениями в X, 0е0, соей, стохастически непрерывная m-почти для всех 0, стохастически эквивалентна измеримой случайной функции.
Следующий результат, имеющий важное значение, непосредственно вытекает из теоремы Фубини.
Теорема 2. Пусть |(0) = §(0, со)—измеримая случайная функция, принимающая действительные значения. Если
J M|E(0)|m(rf0) < °о, в
то для любого множества Вей
J M|(0)m(d0) = M J|(0)m(rf0). в в
Последнее равенство означает перестановочность знака математического ожидания и интеграла по параметру.
228
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
§ 4. Критерии отсутствия разрывов второго рода
Функции без разрывов второго рода. Пусть |(/),/е[а, Ь],— случайный процесс со значениями в полном метрическом пространстве X.
Определение. Если с вероятностью 1 выборочные функции процесса для каждого t^(a,b) имеют пределы слева и справа, а в точке а (b) предел справа (слева), то говорят, что процесс не имеет разрывов второго рода на отрезке [а, Ь].
В настоящем параграфе постоянно предполагается, что процесс l(t) сепарабелен. Множество сепарабельности процесса обозначим через /.
Определение. Функция x = f(i), хе.Х, имеет на отрезке [а,Ь] не менее m г-колебаний (е>0), если существуют точки t0, ..., tm, а ^ t0 < ti < ... < im ^ b, такие, что p(f(th-i), f{th))> г, k = 1, 2, ..., m.
Лемма 1. Для того чтобы функция y = f(t) не имела на отрезке [а, Ь] разрывов второго рода, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 у нее было только конечное число г-колебаний на [а, Ь].
Доказательство. Достаточность. Докажем существование предела f{t — 0) для любого / е (a, fr]. Пусть {<„} —произвольная последовательность tn f t. Может найтись только конечное множество чисел t„k (nk < nk+{) таких, что р (/ (t„k), / (^А+1)) > е. Следовательно, начиная с некоторого m, р (f(tn), f{in+k))^ 2е для всех п~^т, k > 0, т. е. последовательность f(tn) сходится. Отсюда вытекает существование f(t — 0) = lim/(s). Аналогично
доказывается существование /(< + 0) на [а, Ь).
Необходимость. Пусть в некоторой точке to не существует одностороннего предела (например, предела слева). Тогда найдется последовательность tn f t0 такая, что для любого п sup р (/ (tm), f (*„)) > г, т. е. число е-колебаний неограни-
т>п
ченно. В
Заметим, что определение числа е-колебаний тривиально переносится на случайные функции, рассматриваемые на произвольном множестве действительных значений t.
В дальнейшем, рассматривая функции без разрывов второго рода, мы не будем различать две функции, имеющие в каждой точке t е [а, Ь] одинаковые пределы слева и справа. Поэтому естественно принять какое-либо стандартное соглашение о значениях этих функций в точке разрыва. Обозначим через
