Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
[а, Ь] г= Ф [a, b; X] пространство функций, заданных на [а, Ь), со значениями в X, не имеющих разрывов второго рода и в каж-
КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА
229
дой точке t е [а, b] односторонне непрерывных. Положим
Ас (/) = sup {min [р (f (О, f (0). Р (f И"), f (0)];
t — с ^ t' <?. t ^ t" ^ t c, t', s [a, ft] } +
+ sup {p (/ (t), f (a)); a < t < a + c) +
+ sup{p(/(/), /(ft)); & — с <t<b). (1)
Лемма 2. Для того чтобы функция х = f(t) не имела раз-
рывов второго рода, необходимо и достаточно, чтобы
lim Лс (/) = 0. (2)
с-> 0
Доказательство. Необходимость. То, что два последних слагаемых в правой части (1) стремятся к нулю при с-»-0 для каждой функции / е %Е) [а, Ь\, вытекает из определения.
Пусть условие (2) не выполнено. Тогда найдутся такие последовательности tn, tn, tn, что tn<tn<tn, tn-tn—*-0 и
/(*»))> в, Р(Ж). / (tn)) > в для некоторого е > 0. Можно считать, что tn сходится к некоторому /0 (если это не так, то можно заменить последовательность /„ некоторой сходящейся подпоследовательностью). Из трех последовательностей Ю, %), {Q по крайней мере две имеют бесконечно много точек, лежащих по одну сторону от t0. Если, например, {/„} и {tn} лежат слева от t0, то /(/„)-»-/(/— 0) , / (t'n) ->f(t — 0), что противоречит условию р (/ (t'n), / (tn)) > е. Аналогичен случай, когда {tn} и {t"} имеют бесконечно много значений, лежащих правее t0. Остальные случаи сводятся к этим двум.
Достаточность. Из условия (2) следует, что /(/) непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь. Если бы при некотором tQ^(a,b) не существовало /(^о + 0), то нашлась бы последовательность tn\t и е > 0, для которых р(/(/„), /(/n+i))>e, что противоречит (2). Таким образом, существует /(/о + 0) при любом t0 е [а, Ь). Аналогично существует f(tQ — 0). Из соотношения (2) следует также, что либо f(t0) = f(t0 — 0), либо f(t0) = *=f{tо + О). Лемма доказана. Н
Некоторые неравенства.
Лемма 3. Пусть l(t), t е [0, Т], — сепарабельный стохастический непрерывный процесс со значениями в X и существует такая неотрицательная монотонно возрастающая функция g(h) и функция q(C, h)^ 0, 0, что
p{[p(?(0,^-/0)>Cg(/i)]n
П [Рtt(t + h), 1 (t)) > Cg (/i)l }<q(C,h) (3)
и
oo oo
G= ? g(T2-n)<°o, Q(C)= ? 2nq(C, T2~n) < oo. (4)
/1=0 «=1
230 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ |ГЛ. IV
Тогда для всех N > 0
р К Ж n9{W)' Un) > N]<P { р{тЛ{Т)) > ш } + QЫ?)*
Доказательство. Положим
Ank = {p(l(^iLT), l(4rT))<Cg(T2~n)},
6 = 0,1, ..., 2" — 1, n = 0,1,2, ...,
oo 2Ш~1
Bnk = Ank-\ U Ank, Dn= П П Bmk (я^1),
m~n
D0 = Aoo f| Di.
В силу стохастической непрерывности можно считать (см. теорему 3 § 2), что множеством сепарабельности / процесса |(f) является множество чисел вида й/271, k = 0, 1....п =
= 0, 1, 2, ... Имеем
ПШ .
оо 2 —1 оо
Р Фа) < ? ? Р {Bmk} < ? 2"1? (с, T2~m) = Q (п, С), (5)
т—п k=l т=п
где Q(n,C) = ? 2mq(C,T2~m).
m**n
Из D0 вытекает, что р(|(Г), |(0))^.Cg(T), и выполнено одно из событий: или р(|(Г/2), |(0))<Cg(r2-1), или же р(КГ),!^-1))< <Ог(Г2-1)- В обоих случаях
р (| (0), | (Т/2)) < Cg (Т) + Cg (Г2-1), р(|(Г/2), Б(Г))<Сг(Г) + Сг(Г2-1).
Воспользуемся теперь методом индукции. Допустим, что неравенство
m
p(t(4rT)' l(inT))<cg(r) + 2cYiS(r2-s) (6)
доказано для m = n и для k, / == 0, 1, ..., 2” при предположении, что D0 имеет место. Докажем, что аналогичное неравенство имеет место и для m = ti + 1. Пусть k и /— нечетные числа: й = 2Й1+1, / = 2/i + l- Так как из Dn+\ следует, что по крайней мере одно из неравенств
р(е(|гг). б(^|^г-г,))<сг(г2-‘“+,)),
p(lC^Lr)’ K-irir-7’))<c^(7’2_<n+1>)
§ 4] КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА 231
выполняется, то
p(i(l^r7’). i(^-r))<Cg(r2-(n+,)),
где k' равно или ku или &i + 1. Аналогично найдется целое /' такое, что
Учитывая теперь предположение индукции, получим
П +1
р(6(г^тГ)’ Ki^‘r))s;:Csr(r) + 2CS*(n!"')-
S =* 1
Аналогично рассматривается случай, когда k или / могут быть четными. Таким образом, неравенство (5) доказано для всех т ^ 1. Из сепарабельности процесса тогда следует, что если событие D0 происходит, то
sup {р (| (*'), I (П), t', t" 6Е [О, Т]} < 2CG
