Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
а(е, 6) = sup{P{p(?(s),|(0)>e |g5}; + 6<7\ (osQ0},
S, t
Покажем, что для сепарабельных процессов условие а(е, б) ->0 при б—>0 и любом е > 0 обеспечивает отсутствие разрывов второго рода. Пусть [с, d] — фиксированный отрезок, [с, d] а [0, Т] и I — произвольная конечная последовательность моментов времени ti, ti, ..., tn, s < с < < ... < tn d. Через
A (e, Z) обозначим событие: выборочная функция случайного процесса ? (t) на [с, d]flZ имеет по крайней мере одно е-коле-бание.
J1 е м м а 5. С вероятностью 1
P{^(e,7)|§s}<2a(JL,d-C). (13)
Доказательство. Заметим прежде всего, что в силу свойств условных математических ожиданий при s <.t <; и
Р{р(1№, Ш)>е|§Л =
= М {Р {р (? (0, ? (и)) > г I Ш < а (в, и - s). (i4)
Введем теперь события
fift = {p(?(c), m)<Y> г'=1’2’ *-1.Р(1 (с), !«*))> у}.
Cft = {p(l(4), W))>-j}, Dk = Bk (ICft, fe=l,2,
C0 = {p(?(c),6(d))>-J}.
tl
События Bk несовместимы, и если положить D = [J Dk, то
k-i
А(г, I) <— C0\JD. Действительно, если A (e, 1) имеет место, то при некотором k впервые выполняется неравенство р (g (с), ?(4))^s-f‘. т. е. осуществляется одно из событий Bk (k — lЕсли при этом D не имеет места, т. е. если р(?(4), %(d)) < , то
P(l(c),l(d))^p(l(c), t(tk)) — p(l(tk),l(d))> -j, т. е- имеет место
3 4] КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА 235
событие С0. Таким образом, А (г, /) с: С01)?- Имеем теперь с вероятностью 1
Р {Dk 15'Л = М {%Dk | gs} = М {М {xBk%ck | | Ss} =
= M {xBkP {Ck | | < a (|, d - с) M {tBk | Щ,
где Хл> как обычно, обозначает индикатор события А. Отсюда следует
р{т.)=?Р№1&><Чт.л-с)м|?**18.}<
ft = l '•ft-! У
<1 a (---, d — с j (mod Р).
В силу (14) P{C0|Ss}^a('|‘’ d — c). Таким образом, Р{Л(е,/)|&}<РР15Л + Р{Со15,}<2а(®-. d-c) (mod P),
что и доказывает лемму.
Лемма 6. Пусть Ah(e,I) обозначает событие: \(t) имеет на 1 по крайней мере k г-колебаний. Тогда
Р{Л*(е,/)Ш<[2а(!. d-c)]" (mod P). (15)
Доказательство. Пусть Вг(е,1) обозначает событие: на множестве (tu ..., tr) выборочная функция процесса ?(/) имеет не менее k—1 е-колебаний, но на (t\, ..., /r_i) число е-коле-баний менее k—1. События Br(e,I) r= 1, ..., п) несовмести-
П
мы, и (J Br (е, I) — Ak~l (е, I) :э Ак (е, /). С другой стороны, из
Г=> I
Ah(e, I) fl Br(e, I) следует, что на множестве (tr, tT+\, ..., tn) имеется по крайней мере одно е-колебание. Следовательно,
Ак(г, /)с= U (Аг(е, /)ПСг(е, /)),
1
где Сг(е,/) означает, что l(t) на (tr,tr+i, tn) имеет по крайней мере одно е-колебание. Поэтому
Р{Ак(г,1)Ш<?Р{Вг(г,1)ПСг(в,1)Ш (mod P). (16)
г-1
236 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ ТГЛ. TV
Используя свойства условных математических ожиданий, получим
Р {Вг (е, I) Л Сг (в, /) | = М {М {хВг (е> 1)%сг (в, У) | ]&}<
<М{хв^пР {Сг(г,
<2а d — с) Р{Вг(е, /)| (mod Р).
Из полученного неравенства и (16) следует, что
tl
Р {Л* (е, /)Ш<2а(|,^-с)?Р{5г (е, I) | &} =
Г~1
= 2а (|, d - с) Р {Ак~1 (е, /) | &} (mod Р),
откуда и вытекает доказываемое. ¦
Теорема 2. ?слц |(?)—сепарабельный процесс и при любом е > О
lim а (е, 6) = 0, (17)
8->0
то процесс %{t) не имеет разрывов второго рода.
Достаточно доказать, что с вероятностью 1 каждая выборочная функция l(t) имеет только конечное число е-колебаний. Пусть I — множество сепарабельности процесса | (/). Предст'а-
оо
вим его в виде / = (J /„, где 1п— монотонно возрастающая по-
п= 1
следовательность множеств, состоящих из конечного числа элементов. Пусть дано е > 0. Разобьем [0, Г] на m отрезков Дг,
г = 1, ..., т, одинаковой длины так, чтобы 2а ^, ~ ) = {J < 1.
Т огда
Р {Л00 (е, / П \) I S,} < Р {Ак (е, / П A,) I S,} =
= lim Р {Ак (е,
оо
откуда Р{Л°°(е,/ПДг)1ЙЛ = 0 (mod Р) и Р {Л°° (е, / Л Дг)} = 0. Следовательно, Р{Л°°(е, /)} = 0. ¦
Приведем некоторые важные следствия из доказанной теоремы.
Теорема 3. Сепарабельный стохастически непрерывный процесс \{t), fe[0, Г], с независимыми приращениями и со
КРИТЕРИИ ОТСУТСТВИЯ РАЗРЫВОВ ВТОРОГО РОДА
237
значениями в линейном нормированном пространстве X не имеет разрывов второго рода.
Действительно, из определения процессов с независимыми приращениями имеем
Рт(5)-Ш1>еШ = Р{1Ш-Ш1>е} (mod Р),
С другой стороны, из свойства равномерной стохастической непрерывности (см. теорему 2 § 1 гл. I) вытекает, что
