Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
в &\, то в неравенстве
\ («„) dP < J % (t) dP, sn < t, Be &+, в в
$ 61 СУБМАРТИНГАЛЫ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА 245
можно перейти к пределу при п —* оо. Получим
ri(s)dP< \l(t)dP.
в в
Аналогично убеждаемся, что в правой части последнего неравенства можно заменить l(t) на т](0- Получим
т] (s) dP ^ ^ т] (t) dP. (4)
в в
Это доказывает, что {т] (/), g/+, / ^ 0} — субмартингал.
Теорема 1. Пусть {?(0> 5/, t > 0} — субмартингал, g(+ == g, и функция а(^)=М?(/) непрерывна справа для всех t ^ 0. Тогда существует модификация {г|(/)> &<> ^ ^ 0} процесса ?(/), выборочные функции которой с вероятностью 1 при каждом t непрерывны справа и имеют пределы слева.
Доказательство. Достаточно показать, что ранее построенный процесс {ti(0, 5ь t ^0} является модификацией заданного процесса. Аналогично неравенству (4) получаем
l(s)dP^\n(t)dP t>s, B<=%s,
в в
или ?(s) ^ М{т](0 155s}, s sg; /. Так как величина т](/) ^-изме-рима, то
I (t) < М {т] (01 = г] (t) = I (t + 0) (mod Р).
В силу равномерной интегрируемости последовательности |(/п) при tn j t
M{l(t + 0) — l (t)) = Hm M (? (tn) — I (t)) = lim (a (/„) — a (/)) = 0,
t^t tn1rt
что вместе с предыдущим неравенством дает
l(t + 0) = l (t) (mod Р).
Замечание. Условие было использовапп только
для того, чтобы иметь возможность утверждать, что т](0 — Ягизмеримая случайная величина. Поэтому теорема 1 остается в силе, если заменить условие следующим: случайная
величина %(t + 0) = lim %{sn) ЗгизмеРима-
sn* f
Следствие. Пусть l(t), t ^ 0, — субмартингал относительно потока о-алгебр {g(, /^0}, где 5; — пополнение а-алгебры, порожденной случайными величинами (|(s), s ^ 0> ст0~ хаотически непрерывный справа:
HmP{|g(/)-6(/ + A)|>e} = 0 V (е > 0, t> 0).
-246
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Тогда существует субмартингал {т](/), t ^ 0}, стохастически эквивалентный процессу %{t), t ^ 0, выборочные функции которого с вероятностью 1 непрерывны справа и имеют пределы слева.
Для доказательства нужно проверить, что из условия стохастической непрерывности вытекают условия теоремы 1. Так как ?(/ + h) при h | 0 сходятся по вероятности к l(t), то для каждого t найдется последовательность tn, tn | t, tn е 5, такая, что ?(0=Hm?(fn) (mod Р). Следовательно, ?(f + 0) ^-измеримо. Из равномерной интегрируемости семейства l(tn), п — = 1, 2, ..., следует, что а(/) = М?(?) = М lim ?(/„) =
= lim М|(^п) = lim а(?„), т. е. a(/ + 0)=a(f). Учитывая замечание к теореме 1, получаем, что процесс {т](/)> t > 0} является субмартингалом с требуемыми свойствами. ¦
Из теоремы 1 § 5 вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть {?(0. ^ е ta> 4}—субмартингал, удовлетворяющий условию
lim S1P{U(Wi)-5(UI>e} = 0,
где а = tn0 <С tn, <Z ... < tnn — b. Тогда он обладает непрерывной модификацией.
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В настоящей главе рассматриваются линейные операции над случайными процессами. Примерами таких операций являются дифференцирование и интегрирование процессов, преобразования с помощью дифференциальных и интегральных уравнений. Задача прогноза значения случайной функции или задача выделения полезной компоненты из наблюденных значений случайной функции, представляющей собою сумму передаваемого сигнала и искажающего «шума», часто решается в рамках теории линейных преобразований случайных процессов.
Для изучения возникающих при этом проблем рассматривается гильбертово пространство случайных величин, что позволяет в ряде случаев получить законченные и удобные для применений решения. Предполагается, что читатель знаком с элементарными понятиями теории гильбертовых пространств.
§ 1. Гильбертовы случайные функции
Пусть {Q, @, р} — вероятностное пространство.
Определение 1. Гильбертовым пространством 9? 2 = = i?2 (?2. Р) случайных величин вероятностного пространства (Q, @, Р) называют множество комплекснозначных случайных величин l — f(a>), шей, для которых М|?|2< оо.
Скалярное произведение в 9?2 определяется формулой
(?, л) = М?л,
В соответствии с этим определением норма || ? II случайной величины ? равна
Ш1 = {М | ? |2}|/2.
Две случайные величины ? и ц ортогональны, если
(?, л) = М?л = 0.
248
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. V
Для действительной случайной величины С квадрат нормы || С II2 совпадает с моментом второго порядка, Ц ? ||2 = М?2, а при М? = О — с дисперсией. Если ? и т] действительны и М? = ¦= Мт) = 0, то их ортогональность означает некоррелированность.
