Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 10. Если inf М|п >—оо и последовательность (20) является субмартингалом, то она равномерно интегрируема, предел limg_n = существует с вероятностью 1 и в 2?\ и
(21)
Доказательство. Докажем сначала, что последовательность п = 1, 2, равномерно интегрируема. Так как последо-
§ !] МАРТИНГАЛЫ 145
вательность №|-« монотонно не возрастает, то существует lim М|_п = I > — оо. Для любого е > 0 найдется такое по, что
< е, п^Пу Заметим, что
Mx(|S_„|> C)|S_„| =
= - М|_„ + Мх (Е_„ > - С) 1_п + МХ (Е.„ > С)
где %(А)—индикатор события А. Из определения субмартингала следует, что при « > п0
Мх (1_п >~С) 1_п < Мх (Е_„ >-С) Мх (?_„ > С) 1_п < Мх (&_„ > С) 1_Па.
Таким образом, -Мх(|1_„|>с)|?_„|<
< в - MU, + Мх > - С) + Мх (|_„ > С) <
С другой стороны. jl_n[ = 2|^ — 1_п, М[^П|<2М|^ — I = fe,
так что в силу неравенства Чебышева
М | ? „ I k
т. е. величина Р{ 1| > С}->0 при С-> оо равномерно по п. Поэтому найдется такое С = С(е), не зависящее от п, что Мх(|?_„| > C)||_nJ <е. Таким образом,
Мх(|Е_п|>С)||_„!<2е Мп>п0.
Равномерная интегрируемость последовательности п = 1,
2, ..., доказана. В частности, M|?_n|sC к. Существование с вероятностью 1 предела |_оо последовательности вытекает из неравенства Дуба и доказывается точно так же, как доказательство существования предела в теореме 7. Из равномерной интегрируемости последовательности тогда вытекает сходимость в 2?\. Кроме того, в неравенстве
n>k, Ве1ю,
в в
можно перейти к пределу при п->оо. Получим
в в
откуда вытекает неравенство (21). Ц
146
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
Следствие. Если |-i} — мартингал,
то |_оо = lim ?_п существует с вероятностью 1 и в S?\, последовательность l-п равномерно интегрируема и | —оо ---- M{|_„|S -оо} •
Действительно, если — мартингал, то и |_„ и —1_„ являются субмартингалами. Кроме того, M|_n = const. Пр именяя теорему 10 к последовательностям |_„ и —|_„, получим требуемое.
§ 2. Ряды независимых случайных величин
В настоящем параграфе рассматриваются условия сходимости с вероятностью 1 рядов с независимыми случайными членами.
Пусть дан ряд
Ii + 1г + • • • + In + • • • (1)
Теорема 1. Если существует последовательность чисел
еп > 0, п — 1,2, ..., такая, что
оо со
Ze„<oo, Z Р{||„|>е„}<оо, (2)
п = 1 П= 1
то ряд (1) с вероятностью 1 сходится абсолютно.
Доказательство. Пусть Ап—{ ||„| > en}. Из сходимости второго ряда в (2) и теоремы 8 § 1 гл. II следует, что Р(НтЛ„) = = 0, т. е. с вероятностью 1 наступает только конечное число
событий А„. Таким образом, существует такое N = N(со), что
при n>JV((o) j Ел | < е„ и ряд (1) сходится. ¦
Более сильные результаты имеют место для полумартинга-
лов. Положим
?п — II + 52 + ¦ • • + ln> So —0, Ъп= {ll • • •> In}-Теорема 2. Пусть |„ интегрируемы, п = О, 1, ... Тогда:
а) если М | ^ О и supM?* < оо, то ряд (1) сходится
с вероятностью 1;
б) если М {?„ | Sn-i} —0 и при некотором р ^ 1 sup М | |р < оо,
ti
tj ряд (1) сходится с вероятностью 1 и в SE р.
Условие а) равносильно предположению, что {?„, Sn}—субмартингал. Соответствующее утверждение является поэтому следствием теоремы о сходимости субмартингала. Условие б) означает, что {?„, Sn}—мартингал. Поэтому |?п|р — субмартингал и М sup | ?„ |р ^qp sup М I |р. Таким образом, величина
П П
|?п|р равномерно интегрируема и сходятся к некоторому пределу с вероятностью 1 и в S?v (теорема 16 § 1 гл. II, теорема 9
.§ 2] РЯДЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 147
ОО
Следствие 1. Если M{?„|5n-i} = 0 и ? М?2< оо, то
ПЯ1
ряд (1) сходится с вероятностью 1 и в 3?2-
Доказательство вытекает из того, что при k Ф п
M«gB = M{g*M{gn|gn.1}} = 0,
\к=I / k=\ i=> k<j ' k=l
и из утверждения б) теоремы. В
Для рядов с независимыми членами последний результат известен как теорема Колмогорова.
Следствие 2 (теорема Колмогорова). Если {^П,п — = 1, 2, ...} — независимые случайные величины, М|/, = 0 и ряд
оо
? Dlk < оо, то ряд (1) сходится с вероятностью 1.
Это утверждение вытекает из следствия 1, если под $п по-
нимать cr-алгебру, порожденную случайными величинами |ь ?2, .... Еп, и принять во внимание, что в силу независимости ¦случайных величин
