Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
l->“ to
где P(S~M|5)— условная вероятность события S~M относительно В.
Лемма 5. Равенство (18) (или (19)), для любых А, В е($ эквивалентно эргодичности.
Достаточно показать, что из (18) следует эргодичность. Пусть С — любое S-инвариантное событие. Положим в (18) А = В = С. Тогда оно переходит в следующее: Р(С)= Р2(С), откуда Р(С)=0 или 1, и лемма следует из теоремы 2. ¦ Равенство (19), имеет следующий теоретико-вероятностный смысл. Пусть А и В — два события из 6. Если событие А неограниченно сдвигать во времени, то в среднем события S~M и В становятся независимыми, каково бы ни было событие В.
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
161
Условие (19) является частным случаем более жесткого требования:
lim Р(5_ПЛ|В) = Р(Л), (20)
П-+оо
которое называется условием перемешивания. Условие (20) является частным случаем равенства
lim M?„Ti = М?0Мг|, (21)
П-+00
где ?» = /(5лы), л = &(“)> f(u) и ?(“)— произвольные функции из 3?г. С другой стороны, из (20) следует (21) для простых функций fug. Аппроксимируя произвольные f(u) и g(u) из 3?ч последовательностями простых функций /n(w) и gn{u), сходящихся в 3?2 к /(«) и g(u) соответственно, нетрудно убедиться, что условие перемешивания эквивалентно условию (21) (/(и), g(u)—произвольные функции из З’г)- С другой стороны, условие (21) достаточно проверить для некоторого множества функций, линейная оболочка которых всюду плотна в В качестве таковой удобно принимать индикаторы цилиндрических множеств.
Рассмотрим последовательность {?„, п = 0, ±1, ...} независимых одинаково распределенных случайных величин, и пусть М||п|<°°- Она является стационарной последовательностью. В силу теоремы Биркхофа — Хинчина
П — 1
lim-^Yg* = |* (mod Р), М|* = М|.
"-*00 ?!о
Случайная величина ?*, очевидно, не зависит от любого конечного числа величин ?о> ?i......??• Поэтому ?* измерима относи-
тельно lim <?{?*} и на основании «закона 0 или 1» постоянна, ?* = c(modp), причем с == М|. Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 3 (усиленный закон больших чисел). Если {!„, п = 0, ±1, .. •}—последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин и М||п|< со, то с вероятностью 1
П- 1
Пт 1 V U = Mb,. (22)
"-*00 *4
Доказанная теорема является следствием эргодичности независимых одинаково распределенных случайных беличин. Но можно доказать большее, а именно, что оператор сдвига времени в Хт является перемешиванием. В свою очередь это вытекает из более общего утверждения. Пусть {?„, п = 0, ± 1,...} —
162
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
стационарная последовательность случайных элементов в {^, %п — ст-алгебра, порождаемая случайными элементами In, in+1.....= П Ъп = lim Ъп- Будем говорить, что к последо-
П
вательности {?„, п ¦== 0, ±1, ...} применим «закон 0 или 1», если ст-алгебра goo содержит только события вероятности О или 1.
Теорема 4. Если последовательность {|„, п = 0, ±1, • • •} удовлетворяет «закону 0 или 1», то преобразование сдвига времени является перемешиванием.
Положим = Р{5]5п}- Последовательность {?„, g„, п — = ...—k,—k+ 1, 0}, g_n = %п, является мартингалом, и
Р{В|5сс} является его замыканием слева. Так как 0-алгебра goo тривиальна, то P{B|goo} = const = Р (В) (mod Р). В силу теоремы о сходимости мартингалов (теорема 1, следствие, § 1) limP{B|§n}= Р(В) с вероятностью 1. Пусть А—цилиндрическое множество над координатами п = 0, 1, 2, . . . Тогда S~nA е е gn. Поэтому при п —*¦ оо
P(Bf\S~nA)= J P{B\%n}P(du)-+P(B)P(S~nA) = P(B)P(A).
S~nA
Очевидно, что это соотношение имеет место и для любого цилиндрического А. Отсюда вытекает, как было замечено ранее, соотношение (21). И
Другим примером процесса, удовлетворяющего условию перемешивания, может служить стационарная гауссова последовательность, коэффициент корреляции которой стремится
к нулю. Пусть {gn, п = 0, ±1, ±2, ...} — стационарная гаус-
сова последовательность, М?п = пг, М (?п — rn) (|0 — m)= Rn, f(u) = f(x0,x ....Хр), g(u) = g(x0, хи ..., Xp) — ограничен-
ные достаточно гладкие функции р + 1 переменных, имеющие абсолютно интегрируемые преобразования Фурье f* (к0, . .., кр), g*(k0, . ,.,кр). Тогда
М/ (i/j> irt + b • • ¦ , i/i + p) § (Ео» • • • , ip)
r r t^n+k+ ZHh)
= M ^ ... ^ e Vfe“° fe=a ' X
X f (A'tb • • •» hp) g (ца, . .., jis) dka ... dkp йц0 . . . d\ip
\
X
i \*'u> ¦ • • » **р/ e> \r~u» • * • > t~v/-u * * *--p — • • ¦ —г
Г Г ^ Rk-r(lklr+>lk^r)+ 2 Rn+k-rlk^r I
\ V g V k, r=0 k, r®0 )
