Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ft-0
где vn(B,u)—число членов последовательности |(0), |(1), ... ..., |(п — 1), значения которых попадают в множество В, т. е. vn(B,u) является частотой попадания в множество В первых п членов последовательности g(i) (f = 0, 1, ... ,п—1). Таким образом, поставленный вопрос, в частности, является вопросом о поведении частоты попадания значения случайной величины l(t) в произвольное множество В. Докажем прежде всего, что предел при м->оо величины (3) существует с вероятностью 1. Это предложение составляет содержание известной теоремы Биркхофа — Хинчина.
Лемма 1. Если S сохраняет меру \и,, D eft и f(u) — ft-измеримая неотрицательная ц-интегрируемая функция, то
^ f (5м) ц (du) = ^ f (ы) ц (du). (5)
S~‘d О
Если положить f(u)x=xA(u), то формула (5) перейдет в равенство ц(5_1(Л П?>))= ^.(А C\D), что верно для любых А и
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
15»
Се8. Отсюда следует, что формула (5) верна для произвольных ^-измеримых неотрицательных и ц-интегрируемых функций. В
Докажем сейчас одну лемму арифметического характера. Пусть flj, а2, ..., йп — последовательность действительных чисел, р — целое число. Назовем член последовательности аь р-от-меченньш, если в последовательности сумм
ЙА + ЙА + Ь •••> ak + ak+\ + ••• + Oft + p-1
по крайней мере одна неотрицательна (aft 1-отмечен тогда и только тогда, когда он неотрицателен).
Лемма 2. Сумма всех р-отмеченных элементов неотрицательна.
Пусть a.it — р-отмеченный элемент последовательности с наименьшим номером и а*, + а*,+1+ ... + а*1+л (г ^ р—1) — неотрицательная сумма с наименьшим числом слагаемых. При h < г а*, + «ft.+i + • • • + а*,+л < 0, следовательно, «а,+л+ 1 + ••• +а*,+г^0, т. е. все члены последовательности a*,, a*,+i, •••, а*,+г р-отмечены и их сумма неотрицательна. Можно продолжить это рассуждение, рассматривая последовательность, начиная с члена a*,+r+i Таким образом, вся последовательность разбивается на части, каждая из которых кончается группой р-отмеченных членов, и сумма р-отмеченных элементов каждой части неотрицательна. Множество р-отмеченных элементов всей последовательности совпадает с суммой множеств р-отмеченных элементов таких ее частей, что и доказывает лемму. В
Следующая лемма является основным этапом в доказательстве теоремы Биркхофа — Хинчина.
Лемма 3. Пусть f(u)—ц-интегрируемая функция, S — измеримое, сохраняющее меру ц отображение {^,5} в {U,%} и
?= D {и: Z f(Sk~'u)> о}.
п=\ 1. ft-1 )
Тогда
^ f (и) ц (du) > 0. (6)
Б
Доказательство. Рассмотрим последовательность /(и)» f(Su), ... ,f (SN+P~1 и) и обозначим через s(u) сумму всех р-отмеченных элементов этой последовательности. В силу леммы 2 s(u)^0. Пусть Dh = {u:f(Shu) есть р-отмеченный элемент}, %ь(и)—индикатор множества Du- Заметим, что
?)0 = {«: sup f (Sk~] (ы))> О} и frk = S~'Dk-l при
1 <*</>
454 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
откуда Z)fe = 5_*D0 (k^.N). Отсюда лг+p-i
U к=О
N+p-1
<0<Js(4|i(rfu)=*J Yu f(Sku)Xk(u)v(du) =
J-
У \f(Siu)ti(du).
к=0 Dk
.В силу леммы 1
\ f (Sku) ц (du) == \ f(Sku)n(du)=\f(u)n(du), k^N.
Dk S~kD0 dq
Следовательно,
лг+p-i
N \/(u)n(rfu)+ У \f(Sku)n(du)> 0. (7)
D0 k~N+I Dk
Так как
J / (Sku) n(du) < J | / (S*n) | ix (du) = J | / (и) I p (du) < oo,
Dk U U
то, разделив неравенство (7) на N и устремив N к оо, получим
J / (и) ц (du) > 0. (8)
о.
Множества Do = D0(p) (р = 1, 2, ...) образуют монотонно возрастающую последовательность, и
оо
lim D0 (р) = [J Do (р) = ?.
р->0о /7 = 1
Переходя в (8) к пределу при /?->оо, получим (6). ¦
Лемма 4 (максимальная эргодическая теорема). Пусть /(ы) ц-интегрируема, Я, — действительное число и
00 ( П ^ •
rt-I N )
Тогда
Доказательство получим, если к функции f(u) — К применим лемму 3.
Теорема 1 (теорема Биркхофа — Хинчина). Пусть {U, 5, и)— пространство с мерой, S — измеримое, сохраняющее меру
5 з] ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ 155
^ отображение {?Д5} в {С/, S} и f(u) — произвольная ц,-интегрируемая функция. Тогда ц-почти всюду в U существует предел
