Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 60

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 214 >> Следующая


л-1

Ит±У f(Sku) = Г (и) (mod ц), (10)

п-*°° to

функция f*(u) S-инвариантна, т. е.

(Su) = /*(«) (mod ц), (11)

и интегрируема. Если ц(?/)< сю, то

^ Г (и) ц. (du) = ^ / (и) ц (du). (12)

и и

Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, чтс функция /(и) конечна и неотрицательна. Положим

я-1 л— I

g* (и) = Tim Y / (Sku), gt (и) = lim ? / (Sku).

Нужно установить, что g*(u) = g*(u) (mod ц). Пусть Яа(5 = {«: &‘(«)>P, &.(“)<<*}> 0<a<p.

Достаточно показать, что ц(Ка$) = 0. (Действительно,

{и: g*(u) > gt(u)} — U Кал, где/? — множество неотрицатель-

a < 0 а. В ей

ных рациональных чисел.) Заметим, что

е-(^)=пд{"+1

V ft=0 >

и, аналогично, g*(Su) = g*(u). Это означает, в частности, что S~lKa$ = Ка$. Поэтому можно применить лемму 4 к пространству с мерой {/(ар, 5П/(ар, ц.}. Отсюда следует, что

J /(и) ц (du) >рц (/Са||). (13)

*«е

Применяя лемму 4 к функции —f(u), получим

^ / (ы) ц (du) < ац (/Сар). (14>

Так как 0 > 0, то из (13) следует, что ц(/<ав)<°°. но тогда (14) возможно лишь, когда ц,(/Сар) = 0. Итак, существование
156

СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

[ГЛ. III

(mod (и) предела (10) доказано. Положим f*(u) =g*(u). Тогда выполняется (10) и f*(u) S-инвариантна почти всюду в U.

Для доказательства формулы (12) положим =

k

2п

<П«)<-^}. Имеем U = k{]^Akn, S~4„ = {«: k 1 1 1

< Г (Su) < - 2„— | = Akn. Применим к множеству Akn лемму 4. Для любого е > 0 получим, что ^ f(u)\x(du) (-.pr — е) Н. {Akn),

Akn

откуда при е —>¦ 0 получаем неравенство ^ / (и) ц (du) (ЛА„).

Акп

Аналогично, ^ f (и) ц (du) <1 k ц (Akn), откуда следует

Akn

\f(u)»(du)- \r(u)VL(du)

4ftn

Суммируя эти неравенства по всем ky получим

^f(u)\x (du) — ]г (и) н. (du)

<4r»(U).

Принимая во внимание произвольность п в случае, когда [х(?/)<оо, получим формулу (12). В

Некоторые следствия теоремы Биркхофа — Хинчина. Следствие 1. Пусть (li (U) < оо, f(u) е S v {U, 5, ,u}. Тогда

и k=0

n(da)->-0 при n—> оо. (15)

Для доказательства возьмем какую-либо ограниченную функцию fo(u), и пусть II f(u)~ fo(u) Up = 6, где || / ||р — норма элемента f в SР {U, [х}. Тогда

?/(sV) —П«)

С

+

п— 1

i-?[/(Sft«)-/o(Sfc«)]

k=0

+

fe=0
^ 3) ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ

В силу неравенства Иенсена и леммы 1

157

4=0

, . л-1

SiE

IU 4 = 0 , . л-1 ;{

Ч U й = 0

Ъ

Сf (Shi) — h (5 ^))

[д. (du)

<r

)

Up

\f(Sku)-fQ(Sku)\pa(du)} =

j

n —!

1 I f(u) — /о (и) г

г " - Л

-{Ш

I. 4=0 U

Up

= 6.

Используя лемму Фату, получим

J f*0 (к) - Г («) Ц„ =

* П—\

i-?[f(sV)-MsV)]

4=0

’ ч Up

p. (du) |

<lim

~T[f(Sku)-h(Sku)]

4=0

<6.

Далее, так как функция fo(u) ограничена, то и все ее средние ограничены одной и той же константой. Поэтому в выражении

^ЕМЛ>-№ =15

4=0 \п (. U

k = 0

Р ^ Up

|i {du)

\ ЧР

I •

при n~> oo можно перейти к пределу под знаком интеграла в силу теоремы Лебега. Следовательно, оно стремится к нулю и при достаточно больших п становится меньше б. Таким образом,

±Yf(Sku)-T(u)

4 = 0

<36, П^п0 = па( д),

причем число б может быть выбрано сколь угодно малым (б > 0). Таким образом, (15) доказано. Щ

Определение 2. Множество называется S-инва-

риантным, если (х((5“!Л)АЛ) = 0.

Здесь А — символ симметрической разности множеств.

Легко проверить, что класс всех S-инвариантных множеств образует а-алгебру g-измеримых множеств. Далее, если g(u)— S-инвариантная функция, то множества {и: g(u)^ с},
158 СЛУЧАЙНЫЕ'ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. НГ

{u:g(u) = c} S-инвариантны. С другом стороны, если А 5 инва-риантно, то %л{и) — S-инвариантная функция. Обозначим ст-алгебру S-инвариантных множеств через 3. Пусть ц,(?/)=1. Будем считать {?/, 8, вероятностным пространством и символом М обозначать интегрирование по мере ц (математическое ожидание).
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed