Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
л-1
Ит±У f(Sku) = Г (и) (mod ц), (10)
п-*°° to
функция f*(u) S-инвариантна, т. е.
(Su) = /*(«) (mod ц), (11)
и интегрируема. Если ц(?/)< сю, то
^ Г (и) ц. (du) = ^ / (и) ц (du). (12)
и и
Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, чтс функция /(и) конечна и неотрицательна. Положим
я-1 л— I
g* (и) = Tim Y / (Sku), gt (и) = lim ? / (Sku).
Нужно установить, что g*(u) = g*(u) (mod ц). Пусть Яа(5 = {«: &‘(«)>P, &.(“)<<*}> 0<a<p.
Достаточно показать, что ц(Ка$) = 0. (Действительно,
{и: g*(u) > gt(u)} — U Кал, где/? — множество неотрицатель-
a < 0 а. В ей
ных рациональных чисел.) Заметим, что
е-(^)=пд{"+1
V ft=0 >
и, аналогично, g*(Su) = g*(u). Это означает, в частности, что S~lKa$ = Ка$. Поэтому можно применить лемму 4 к пространству с мерой {/(ар, 5П/(ар, ц.}. Отсюда следует, что
J /(и) ц (du) >рц (/Са||). (13)
*«е
Применяя лемму 4 к функции —f(u), получим
^ / (ы) ц (du) < ац (/Сар). (14>
Так как 0 > 0, то из (13) следует, что ц(/<ав)<°°. но тогда (14) возможно лишь, когда ц,(/Сар) = 0. Итак, существование
156
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. III
(mod (и) предела (10) доказано. Положим f*(u) =g*(u). Тогда выполняется (10) и f*(u) S-инвариантна почти всюду в U.
Для доказательства формулы (12) положим =
k
2п
<П«)<-^}. Имеем U = k{]^Akn, S~4„ = {«: k 1 1 1
< Г (Su) < - 2„— | = Akn. Применим к множеству Akn лемму 4. Для любого е > 0 получим, что ^ f(u)\x(du) (-.pr — е) Н. {Akn),
Akn
откуда при е —>¦ 0 получаем неравенство ^ / (и) ц (du) (ЛА„).
Акп
Аналогично, ^ f (и) ц (du) <1 k ц (Akn), откуда следует
Akn
\f(u)»(du)- \r(u)VL(du)
4ftn
Суммируя эти неравенства по всем ky получим
^f(u)\x (du) — ]г (и) н. (du)
<4r»(U).
Принимая во внимание произвольность п в случае, когда [х(?/)<оо, получим формулу (12). В
Некоторые следствия теоремы Биркхофа — Хинчина. Следствие 1. Пусть (li (U) < оо, f(u) е S v {U, 5, ,u}. Тогда
и k=0
n(da)->-0 при n—> оо. (15)
Для доказательства возьмем какую-либо ограниченную функцию fo(u), и пусть II f(u)~ fo(u) Up = 6, где || / ||р — норма элемента f в SР {U, [х}. Тогда
?/(sV) —П«)
С
+
п— 1
i-?[/(Sft«)-/o(Sfc«)]
k=0
+
fe=0
^ 3) ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
В силу неравенства Иенсена и леммы 1
157
4=0
, . л-1
SiE
IU 4 = 0 , . л-1 ;{
Ч U й = 0
Ъ
Сf (Shi) — h (5 ^))
[д. (du)
<r
)
Up
\f(Sku)-fQ(Sku)\pa(du)} =
j
n —!
1 I f(u) — /о (и) г
г " - Л
-{Ш
I. 4=0 U
Up
= 6.
Используя лемму Фату, получим
J f*0 (к) - Г («) Ц„ =
* П—\
i-?[f(sV)-MsV)]
4=0
’ ч Up
p. (du) |
<lim
~T[f(Sku)-h(Sku)]
4=0
<6.
Далее, так как функция fo(u) ограничена, то и все ее средние ограничены одной и той же константой. Поэтому в выражении
^ЕМЛ>-№ =15
4=0 \п (. U
k = 0
Р ^ Up
|i {du)
\ ЧР
I •
при n~> oo можно перейти к пределу под знаком интеграла в силу теоремы Лебега. Следовательно, оно стремится к нулю и при достаточно больших п становится меньше б. Таким образом,
±Yf(Sku)-T(u)
4 = 0
<36, П^п0 = па( д),
причем число б может быть выбрано сколь угодно малым (б > 0). Таким образом, (15) доказано. Щ
Определение 2. Множество называется S-инва-
риантным, если (х((5“!Л)АЛ) = 0.
Здесь А — символ симметрической разности множеств.
Легко проверить, что класс всех S-инвариантных множеств образует а-алгебру g-измеримых множеств. Далее, если g(u)— S-инвариантная функция, то множества {и: g(u)^ с},
158 СЛУЧАЙНЫЕ'ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. НГ
{u:g(u) = c} S-инвариантны. С другом стороны, если А 5 инва-риантно, то %л{и) — S-инвариантная функция. Обозначим ст-алгебру S-инвариантных множеств через 3. Пусть ц,(?/)=1. Будем считать {?/, 8, вероятностным пространством и символом М обозначать интегрирование по мере ц (математическое ожидание).