Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Так как М? — постоянная, то она g-измерима. Поэтому
М? = М{Ш}. ¦
Закон «О или 1». Пусть Ап, п = 1, 2, ...,— некоторая последовательность событий.
оо
Теорема 6 (теорема Бореля — Кантелли). Если J] Р (А<
____ п=\
< оо, то событие lim Ап = {Ап бесконечно часто} имеет вероятность 0. Если оке события Ап, п = 1,2,..., независимы, то вероятность события НгпЛп равна 0 или 1 в зависимости от
оо
того, сходится ли ряд ? Р (Ап) или расходится.
п=\
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ 129
ОО ОО
Доказательство, а) Так как WmAll= (~| U Ak, то
п~ 1 k=n
Р {Ап б. ч.} = lim Р ( U л) < lim ? Р (ДО = О,
П-* оо \k~n / П-> ОО k — Tl
что доказывает первую часть утверждения.
б) Пусть теперь события Ап независимы. Нужно доказать
оо
только, что если 2Р(Л„) = °о, то Р{НтЛ„} = 1. Пусть А* =
___ П= 1
= lim Ап, тогда
ОО оо
о\л*==и П (0\ЛА)
п= \ k~n
И
/ оо \ со
Р(?2\Л*) = lim Р ( П (Q\ ЛА)) = lim П Р(0\Л*) =
/1-> оо \k = n J Л->оо k ~ ti
оо
= lim П (1 — Р(Л*)) = 0
п->оо k ~ п
оо
в силу расходимости ряда 2 Р(Л*). И
k=\
Рассмотрим теперь произвольную последовательность независимых ст-алгебр %п, п==_ 1, 2, ... В силу теоремы Бореля — Кантелли событие А* = \\тАп, где Ап — произвольная последовательность такая, что Л„ е имеет вероятность 0 или 1. Этот результат может быть обобщен на произвольные события, порождаемые совокупностью всех ст-алгебр 5„, п = 1, 2, ..., и не зависящих от произвольной конечной последовательности ст-алгебр gi, g2> ..., дп- Уточним это утверждение.
Пусть = ct(5j, / = k, k -f- 1, ...}, §3ft образуют монотонно убывающую последовательность ст-алгебр. Их пересечение 23 =*
оо
= .П есть снова ст-алгебра. Положим по определению
S8==limg„= П ст{3/, i = k, k+l, ft-i
Очевидно, что ст-алгебра limg„ не изменится при замене любого конечного числа ст-алгебр g2, • • •, Sn другими.
Теорема 7 (общий закон «О или 1» Колмогорова). Если 5П, п — 1, 2, ..., — взаимно независимые а-алгебры, то всякое событие из Hmg„ имеет вероятность 0 или 1.
130
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
[ГЛ. И
Действительно, пусть А е lim $п. Тогда А е S3ft при любом k, следовательно, А и . .., Ss-i} независимы. Поэтому неза-
висимы А и ст{$ь ..., 5„, ...}. Так как А е k — 1, 2, ...}, то А не зависит от А. Это возможно только тогда, когда Р (А) = 0 или Р(А) = 1. ¦
Теорема 8. Пусть {Sn, «=1,2,...}— последовательность независимых случайных элементов в фиксированном метрическом пространстве {X, S3}, gn — о-алгебра, порожденная Sn. и = o{%h, k = п, п + 1, ...}. Тогда
а) предел последовательности {?„, п— 1, 2, ...} существует с вероятностью 1 или с вероятностью 0;
б) если X сепарабельно и полно, то предел последовательности {?„, п = 1, 2, ...}, если он существует, с вероятностью 1 постоянен',
в) если z — f(xu х2, ..., х„, ...) — функция бесконечного
числа аргументов хп^Х, п— 1, 2, ..., и /(|ь ..., .. ,)
S3п-измерима, каково бы ни было п, то она с вероятностью 1 постоянна.
Доказательство, а). Если р(лг, у)—расстояние в X, то множество точек, в которых Sn сходится, можно записать в виде
ОО 00
D = Р| (J P| {со: I | < . Так как события А„ =
k = 1 П=> 1 п', п" > п
Г 1 1 00
— Pi |l Srt'— S«" I < yl монотонно возрастают, ТО
п\ п">п
при любом пг, так что и Z)eS3m при любом m и можно применить общий закон 0 или 1.
б) Пусть F — замкнутое множество, F а Х\ через Fh обозначим открытое множество Fk = р (лг, F) < . Тогда со-
бытие D П {lim Sn ^ F} можно представить в виде
[ОО ОО -I
пип {S.ef*} ,
4=1 п = 1 ft > n J
что принадлежит S3m, m = 1,2, ..., в силу тех же соображений, что и при доказательстве а). Таким образом, для любого замкнутого F выполняется соотношение Р {lim t,n е У7} = 0 или 1. Но класс множеств S3, для которых аналогичное заключение имеет место, является о-алгеброй. Следовательно, Р {lim Sn s В} = О или 1 для любого ВеЭ. В случае сепарабельного и полного пространства X отсюда нетрудно получить, что мера q, индуцируемая на S3 случайным элементом limSn, сосредоточена на одном атоме. Действительно, так как q(X)= 1, то найдется сфера Si радиуса 1 такая, что q(Sl)= 1 (если бы такой сферы
