Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 50

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 214 >> Следующая


Так как М? — постоянная, то она g-измерима. Поэтому

М? = М{Ш}. ¦

Закон «О или 1». Пусть Ап, п = 1, 2, ...,— некоторая последовательность событий.

оо

Теорема 6 (теорема Бореля — Кантелли). Если J] Р (А<

____ п=\

< оо, то событие lim Ап = {Ап бесконечно часто} имеет вероятность 0. Если оке события Ап, п = 1,2,..., независимы, то вероятность события НгпЛп равна 0 или 1 в зависимости от

оо

того, сходится ли ряд ? Р (Ап) или расходится.

п=\
§ 4] НЕЗАВИСИМОСТЬ 129

ОО ОО

Доказательство, а) Так как WmAll= (~| U Ak, то

п~ 1 k=n

Р {Ап б. ч.} = lim Р ( U л) < lim ? Р (ДО = О,

П-* оо \k~n / П-> ОО k — Tl

что доказывает первую часть утверждения.

б) Пусть теперь события Ап независимы. Нужно доказать

оо

только, что если 2Р(Л„) = °о, то Р{НтЛ„} = 1. Пусть А* =

___ П= 1

= lim Ап, тогда

ОО оо

о\л*==и П (0\ЛА)

п= \ k~n

И

/ оо \ со

Р(?2\Л*) = lim Р ( П (Q\ ЛА)) = lim П Р(0\Л*) =

/1-> оо \k = n J Л->оо k ~ ti

оо

= lim П (1 — Р(Л*)) = 0

п->оо k ~ п

оо

в силу расходимости ряда 2 Р(Л*). И

k=\

Рассмотрим теперь произвольную последовательность независимых ст-алгебр %п, п==_ 1, 2, ... В силу теоремы Бореля — Кантелли событие А* = \\тАп, где Ап — произвольная последовательность такая, что Л„ е имеет вероятность 0 или 1. Этот результат может быть обобщен на произвольные события, порождаемые совокупностью всех ст-алгебр 5„, п = 1, 2, ..., и не зависящих от произвольной конечной последовательности ст-алгебр gi, g2> ..., дп- Уточним это утверждение.

Пусть = ct(5j, / = k, k -f- 1, ...}, §3ft образуют монотонно убывающую последовательность ст-алгебр. Их пересечение 23 =*

оо

= .П есть снова ст-алгебра. Положим по определению

S8==limg„= П ст{3/, i = k, k+l, ft-i

Очевидно, что ст-алгебра limg„ не изменится при замене любого конечного числа ст-алгебр g2, • • •, Sn другими.

Теорема 7 (общий закон «О или 1» Колмогорова). Если 5П, п — 1, 2, ..., — взаимно независимые а-алгебры, то всякое событие из Hmg„ имеет вероятность 0 или 1.
130

АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

[ГЛ. И

Действительно, пусть А е lim $п. Тогда А е S3ft при любом k, следовательно, А и . .., Ss-i} независимы. Поэтому неза-

висимы А и ст{$ь ..., 5„, ...}. Так как А е k — 1, 2, ...}, то А не зависит от А. Это возможно только тогда, когда Р (А) = 0 или Р(А) = 1. ¦

Теорема 8. Пусть {Sn, «=1,2,...}— последовательность независимых случайных элементов в фиксированном метрическом пространстве {X, S3}, gn — о-алгебра, порожденная Sn. и = o{%h, k = п, п + 1, ...}. Тогда

а) предел последовательности {?„, п— 1, 2, ...} существует с вероятностью 1 или с вероятностью 0;

б) если X сепарабельно и полно, то предел последовательности {?„, п = 1, 2, ...}, если он существует, с вероятностью 1 постоянен',

в) если z — f(xu х2, ..., х„, ...) — функция бесконечного

числа аргументов хп^Х, п— 1, 2, ..., и /(|ь ..., .. ,)

S3п-измерима, каково бы ни было п, то она с вероятностью 1 постоянна.

Доказательство, а). Если р(лг, у)—расстояние в X, то множество точек, в которых Sn сходится, можно записать в виде

ОО 00

D = Р| (J P| {со: I | < . Так как события А„ =

k = 1 П=> 1 п', п" > п

Г 1 1 00

— Pi |l Srt'— S«" I < yl монотонно возрастают, ТО

п\ п">п

при любом пг, так что и Z)eS3m при любом m и можно применить общий закон 0 или 1.

б) Пусть F — замкнутое множество, F а Х\ через Fh обозначим открытое множество Fk = р (лг, F) < . Тогда со-

бытие D П {lim Sn ^ F} можно представить в виде

[ОО ОО -I

пип {S.ef*} ,

4=1 п = 1 ft > n J

что принадлежит S3m, m = 1,2, ..., в силу тех же соображений, что и при доказательстве а). Таким образом, для любого замкнутого F выполняется соотношение Р {lim t,n е У7} = 0 или 1. Но класс множеств S3, для которых аналогичное заключение имеет место, является о-алгеброй. Следовательно, Р {lim Sn s В} = О или 1 для любого ВеЭ. В случае сепарабельного и полного пространства X отсюда нетрудно получить, что мера q, индуцируемая на S3 случайным элементом limSn, сосредоточена на одном атоме. Действительно, так как q(X)= 1, то найдется сфера Si радиуса 1 такая, что q(Sl)= 1 (если бы такой сферы
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed