Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся подробнее на сходимости рядов с независимыми слагаемыми. Как следует из закона «О или 1», такие ряды
сходятся или с вероятностью 0, или с вероятностью 1.
В дальнейшем понадобится одна оценка для распределения максимума сумм независимых слагаемых.
Теорема 3. Если {g*, k — 1,2, ..., п} независимы, М?ь = О и |?ft|-<c с вероятностью 1, где с — некоторая постоянная, то
Р{ max (3)
чт-i с)
L <*k
*-i
где а\ — М||.
Обозначим через Еп события { max п=1, 2, ...
О
Они образуют монотонно убывающую последовательность. Имеем = ? Мх(?,„) (?? - ?»_,)м *(?,_, \?») д. (4)
148 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. lit
Далее,
Мх (?*_, \ Ек) Ц = МХ (?*_, \ Ек) (?*_, + Е,)2 <
<(/ + с)2МХ(?*-1\?*)г
? + М5С(^_Л^) =
к — 1 к = 1
= (f + cf [1 — Р (?„)]. (5)
Кроме того,
Мх (?*_,) (Е| - E2ft_i) = Мх (?*_,) (2Sft_,gft + Ш =
= 2МХ (?*_,) + Мх (?*_,) Mg’ = о\Мх (?*_,)• (6)
Соотношения (5) и (6) дают
№ (г„) > м* (?„) г; > Z «5Мх (?,_,)-('+«)! О - р №0) >
k=i
>Р|
ИЛИ
(/ + с)2 > Р (?„) | ? о| + С2 + 2d } , (7)
откуда следует (3). ^
В общем случае рядов с независимыми слагаемыми вопрос
о сходимости ряда (1) полностью решается следующей теоре-
мой.
Теорема 4 (теорема Колмогорова о трех рядах). Для того чтобы ряд (1) независимых случайных величин сходился с вероятностью 1, необходимо, чтобы для каждого с > 0, и достаточно, чтобы для некоторого с > 0 сходились ряды
Ер {\tn\>c}, (8)
д-1
оо
? Щ'п, (9)
п^\
? Щ, (ю)
п = 1
где t'n = tn при ||„|<с и |'=0 при ||„|>с.
Доказательство. Достаточность. В силу следствия 2 теоре-
оо
мы 2 с вероятностью 1 сходится ряд X (?' — M|'Y откуда, при-
n=i v " nj
§ 2] РЯДЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 149
нимая во внимание сходимость ряда (9), вытекает, что сходится
со
ряд 2 К- И3 условия (8) и теоремы Бореля — Кантелли еле-rt* 1
оо
дует, что только конечное число членов ряда 2 (?„ — от*
лично от нуля. Поэтому ряд (1) сходится с вероятностью 1.
Необходимость. Пусть ряд (1) сходится с вероятностью 1. Тогда его общий член с вероятностью 1 стремится к нулю, так что лишь конечное число членов ряда превосходит по абсолютной величине с (с>0). Поэтому с вероятностью 1 сходится
СО
ряд 2 i'n- Обозначим через {т]„}, п— 1,2, ..., последователь-
П=1
ность независимых случайных величин, не зависящих от после-довательности {?'}, п=1,2, ..., и имеющих такие же распре-
деления, как и ?'. Положим 1п — 1'п~ Тогда ряд 2 !„ схо-
Я= 1
дится с вероятностью 1, Mln = 0, ||n[^2c, D|n = 2D|'. Из схо-
00
димости ряда ? следует, что
Л-=1
р{ sup 2 I* < оо 1 = 1.
I 1 <п<оо /г—1 )
Поэтому при некотором i
Р { sup 2 Ift < t [ = а > 0.
I 1<п< оо 4 = 1 )
Из неравенства (3) следует при любом п
2?d
*=1 *=i
что доказывает сходимость ряда (10). Из следствия 2 теоремы 2
оо
вытекает тогда, что с вероятностью 1 сходится ряд (?'— Mg').
1
Отсюда в свою очередь следует сходимость ряда (9). Сходимость ряда (8) вытекает из теоремы Бореля — Кантелли, так как если ряд (1) сходится, то с вероятностью 1 найдется только конечное число членов ряда (1) таких, что ||п|>с. Я Следствие. Для сходимости ряда (1) независимых неотрицательных случайных величин необходимо, чтобы для любого
^50 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. Ill
.,? > 0, и достаточно, чтобы для некоторого с > 0 сходились ряды
оо 00
5 р «.>«}.
Действительно, для неотрицательных величин %п имеем так, что из сходимости ряда (9) вытекает сходимость ряда (10).
