Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 41 НЕЗАВИСИМОСТЬ 131
не нашлось, то все сферы в X радиуса 1 имели бы меру О, что невозможно, так как X покрывается счетным числом таких сфер). Аналогично, найдется сфера S2 радиуса 4-, S2 cz S, и <7(5г) = 1- Продолжая это рассуждение, получим последовательность вложенных друг в друга сфер S„ радиуса мера
которых равна 1. Эти сферы имеют только одну общую точку х и q{x} = lim<7(S„) = 1.
в) События А = {со: f(t,h g2, ..., ?n) <а}е9п по условию. Поэтому Л е lim Sn и А имеет вероятность 0 или 1. Таким образом, функция распределения случайной величины ? = = f(Z, 1, ..., ?п, ••¦) принимает только два значения 0 или 1 и величина ? с вероятностью 1 постоянна. ¦
ГЛАВА III
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Мартингалы
Определение и простейшие свойства. Мартингалом называют семейство случайных величин |(/), Г (Т—множество действительных чисел), обладающих некоторым «безразличием к прошлому». Это «безразличие» состоит в том, что условные математические ожидания приращений l(t2)—t(t 1) (ti<t2)
при заданных значениях g(s), s ^ независимо от этих значений равны нулю. Если предположить, что эти условные математические ожидания неотрицательны (неположительны), то |(0 называют субмартингалом (супермартингалом).
Перейдем к точным определениям. В настоящем параграфе в основном рассматриваются последовательности случайных величин. Но сначала мы приведем общее определение. Пусть {Й, @, р} — фиксированное вероятностное пространство, Т — множество действительных чисел. Будем интерпретировать значения t е Т как моменты времени проведения некоторых экспериментов. Совокупность событий, наблюдаемых до момента времени t, обозначим через Естественно, что Sf.crgf,, если ti<t2. Рассмотрим семейство случайных величин l{t), t^T, обладающих тем свойством, что значения l(t) точно определяются совокупностью экспериментов, производимых в моменты времени s, s sg; t. Это означает, что величины |(f) должны быть Неизмеримы при любом t еГ. Чтобы описать эту ситуацию формально, введем следующие определения.
Определение. Монотонно неубывающее семейство а-ал-гебр {5?t, t^T) (g*, cr gf2, если t\ < t2, fit cz @) назовем потоком а-алгебр. Семейство случайных величин {?(0> называют
подчиненным потоку {g4, /еГ}, если %(t) при любом t^T §t-измеримо.
Определение. Семейство {?(?), в котором слу-
чайные величины ?(/) подчинены потоку а-алгебр {St> t е Т} и М|?(/)| < оо, t е Т, называют мартингалом, если при s <Lt, s,
М {?(/)!&} =*=?(*), (1)
МАРТИНГАЛЫ
133
, су б мартингалом, если
М{?(018,}>Ш, (2)
и супер мартингалом, если
<?(*)• (з)
Из определения следует, что ст-алгебра ct{|(s), s ^ t, s еГ} содержится в g(. В ряде случаев можно считать, что = = o{c,(js), s ^ t, s e7], но часто под gt следует понимать более широкую ст-алгебру. В тех случаях, когда понятно, о каком потоке ст-алгебр идет речь, мартингалом (или субмартингалом) будем называть семейство {?(0. t^T}.
Так как при умножении на —1 супермартингал переходит в субмартингал, то свойства, установленные для субмартингала, легко переформулировать для супермартингала.
Из определения условных математических ожиданий вытекает, что семейство {l(t),%t,t^T} будет мартингалом (субмартингалом) тогда и только тогда, когда оно подчинено потоку %t, t е Т, М||(/) | < оо и для любых s, t, A efts (s < t, s, t e T)
$S(s)dP= Jg(f)dP (4)
A A
(Jg(s)dP< Jg(/)dP). (5)
В частности, в случае мартингала = const, а для субмар-
тингала Mg(s) М?(0 при s <.t.
Очевидно, что если ?(?), т](^)—два субмартингала, а > 0, Ь > 0, то al(t) -f by](t) также является субмартингалом. С другой стороны, линейная комбинация двух мартингалов всегда является мартингалом.
Теорема 1. а) Если {?(0. 5;, t еТ} — мартингал, f(x) — непрерывная выпуклая функция и М|/(?(?)) | < °о, то {/(?(0), 5/, t^T} — субмартингал, б) Если же {?(0, 5(> t^T}—субмартингал, a f(x)—непрерывная монотонно неубывающая выпуклая функция, М|/(|(0) I < °°. то {f(?(0),5/. t<=T} —также субмартингал, в) Если l(t), т](^), fe[0, Т], — субмартингалы, то l{t) V т](0 — также субмартингал.
Эти утверждения легко вытекают из неравенства Иенсена. Действительно, если функция f выпукла, a l(t)—мартингал, $ < t, то
м {f (I (о) m>t (м {i и) I =f (i (S)),
т. e. f(l(t)) — субмартингал. Если l(t) — субмартингал, а функция f(x) выпукла и монотонно не убывает, то
м {/ й m m>f (м {& (о I g,}) > / е (5)).
134
случайные последовательности
[ГЛ. ш
Пусть ?(^) = b,(t) V т](/). Процесс ?(/) подчинен потоку g( и интегрируем. Для любого А е gs, где se7, s</, учитывая, что события А] = А П {g(s) < tj(s)} и А2 = А Л {?(s) ^ л(5)} Неизмеримы, имеем
