Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
\t(s)dP= J л (s) rfP +
А А\ Аз
< $л(о^р+
As Л, Л
Следовательно, ?(0 — субмартингал. ¦
Следствие. 1) Если l(t), /еТ, — субмартингал, то и aWl (t), t еГ, — также субмартингал, где а — постоянная.
2) ?сл« ?(?), /еГ, — мартингал, то |?(0|—субмартингал и М|? (01 — монотонно неубывающая функция. Если р> \ и М||(0|р<°о, то |?(0|р— субмартингал. Если же l(i) — субмартингал, то |+(tf)—также субмартингал. При этом, если р > 1 и М(?+)р < оо, то (1+)р — также субмартингал.
Примеры, а) Пусть k = 0, 1, ..., п, ..., —независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, %п = ст {?,, ..., ?„}, In = ?, + ?2 + ... + ?„. Если М?п = 0 (М?„ ^ 0) Vn, то {|п, Sn, га = 1, 2, ...} является мартингалом (субмартингалом).
Действительно, при m < п
М 13m} — М (5л ~ 18m} + \m ~ \m + 2
k=m+1
Аналогично, если M?n = 1 (MrQn ^ 1) Vra, то последовательность
П
{In, dn, n= 1, 2, ...}, где i„ = n ?*, является мартингалом
k=i
(субмартингалом). Действительно (m<.n),
M{gjgm} = EmM {ns*isffl)=i„ Пмг*.
km+1 ) m+1
б) Пусть {gn, n= 1, 2, ...}—некоторый поток ст-алгебр, g„c@, © — ст-алгебра подмножеств множества й, Р и Q—две вероятностные меры на ©, Р„ и Q„ — сужения мер Р и Q на §я. Предположим, что Q„ абсолютно непрерывна относительно Р„ Vra. На вероятностном пространстве {Й, ©, Р) рассмотрим последовательность случайных величин ?п:
U(s)dP<
МАРТИНГАЛЫ
135
где -^^-—производная Радона — Никодима меры Q„ по Р„.
иг п
Тогда при А е Ът, т<п
5|^Р = 0„(Л) = ат(Л) = J|mdPf
А А
т. е. {|„, g„, Р} — мартингал.
В частности, пусть т]ь ..., ri„, ... — последовательность случайных векторов со значениями в Md, f„(x и х2, ..., хп), де ^9id, k = \, ..., п,— совместная плотность распределения векторов (t)i, ..., т]„) относительно некоторой a-конечной меры q„, определенной на борелевских множествах &ldn. Предположим, что g{xь ..., хп)—некоторая другая плотность относительно <7„ такая, что
из ^fndqn = 0 следует Jgnrf9n = 0.
А А
Тогда последовательность
gn (rii, .... iyj , 9
/п(Л1....Tin) ’
является мартингалом относительно потока g„, где %п =
= ^{Т)1....rin}.
Марковские моменты времени. Пусть {%t, t е Т) — некоторый поток ст-алгебр.
Определение. Марковским моментом времени т на потоке а-алгебр {g(, t е Т} называют случайную величину, принимающую значения из Т или значение + оо и такую, что при каждом t еГ {т Г} е SSi-
Если т — марковский момент времени, то W е Г события {т > Т), {т < Т), {т = 7'} Неизмеримы.
Каждому марковскому моменту времени т сопоставим ст-алгебру событий о которых можно сказать, произошли ли они до момента времени т или нет. Будем называть ее ст-алгеброй, порожденной марковским моментом времени т. Формальное определение следующее.
Определение, а-алгеброй gT, порожденной марковским моментом времени т, называют а-алгебру всех 8-измеримых событий В, удовлетворяющих условию: для каждого t еГ
В П {т t) е 5;.
Пример. Величина т = t0, где t0 не зависит от случая, является марковским моментом времени, а порожденная им ст-алгебра St = S<„.
135
СЛУЧАЙНЫЕ последовательности
[ГЛ. III
Действительно, в рассматриваемом случае {г ^ 0
если t <; tQ, и {T<i}=Qe если to t, так что т = t0 — марковский момент времени. Далее, ВП{т^0е81 Vie Г тогда и только тогда, когда В е §<0.
Отметим два простых свойства марковских моментов времени (на одном и том же потоке ст-алгебр {%t, /е Г}). Теорема 2. а) Если < т2, то gi, с:
б) Если ti и тг — два марковских момента времени, то ti V т? ы ti А тг — также марковские моменты времени.
Действительно, пусть fieg Tl. Тогда В Л {ti ^ t) е %t- Поэтому
В П {т2<*} = 08Л{т,<*})Л{т2<*}е&.
t s Т
Следовательно, й 6 gt>. Это доказывает утверждение а). Далее, пусть т* = ti V т2. Тогда {т* sC t} = {x\ О П {т2 sg: t}<^ Если т* = ti Л т2, то
= Vfe7\ Я
Марковские моменты времени вводятся для того, чтобы иметь возможность рассматривать значения случайного процесса в эти моменты времени. Предположим, что Т — счетное множество, {|(0. П—процесс, подчиненный {5г, /еГ},и т-мар-ковский момент времени со значениями в Т.
Теорема 3. Случайная величина |т ^t-измерима. Действительно, для любого а
{?г<я}П{т</}= U {?(«) <й}П{т=5}.
.9 < Г
«еГ
Так как при s<t g(s)<a}egscg,, {т = s} е %s с: %t, то {|t<a}n{T^OeSt. В
Рассмотрим конечную последовательность {It, t = 1, 2 ,..., N} и предположим, что она является Йгсубмартингалом. Введем монотонно неубывающую последовательность 8?гмарковских моментов времени п ^ т2 ... <; тр и положим ».
