Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
N 1C < ^тг М|+лр“1 < <7II ^ IIN Г
откуда и вытекает неравенство (11).
Перейдем к случаю р = 1. Снова воспользуемся неравенством (8). Имеем
2СР{л>2С}< J ?*dP< \ tNdP +
{Л >2С} [lN>C)
+ 5 ?*dP< 5 tvdP + CP{4^2C),
{|//<С, n>2C}
так что
СР{л>2С}< J g,vdP.
Р»>с}
140
СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
[ГЛ. ПГ
Воспользуемся равенством (13) для величины -тр. Так как в этом случае
l-F(jO = P{-j}->*}<i- J lN dP,
> ¦*}
TO
00
М0(Д)<5
0
Положим G(x) = (x—1)+. Получаем
vi
M(2 - 0 + <\ = Miv 0" tN)+.
1 '
Так как M (-J — l) >M-J —1, то Mr]<2 (l + Mg* (lng+))+. в
Определение. Числом пересечений v [а, b) полуинтервала [a,b) (a<Lb) сверху вниз семейством случайных величин {!(<)» t еГ} называется точная верхняя граница чисел s таких, что существует последовательность {U, i=l, 2s}, tt <. ti+1, ti e T, для которой
Ш>Ь, Ш<а, |Ы<а.
Теорема 7 (неравенство Дуба). Если |п, п =• 1, ..., N, — субмартингал, то
М {v 1а, Ь) 18,) < -<!»>.. (14)
Доказательство. Без умаления общности можно предположить, что а = 0 и %п ^ 0. Действительно, общий случай сводится к этому, если заменить ?„ на Цп — а)+. Определим последовательность марковских моментов времени Tj, х2, ... (ti < т2 ^ ... ^ xN) следующим образом: Ti — это наименьшее j такое, что ?(/) > Ь, если такое j существует, и ti = N, если такого j нет. Далее, х2— наименьшее такое что / > tj и gj = 0, если такое j существует, и тг = N, если такого нет; т3 равно наименьшему /, для которого gj ~> b, j > х2, или Тз = N, если такого j нет, и т. д. В силу теоремы 1
М {(I (т2) -g (т,)) + (I (т4) -g (т8)) + ... 1 S,} > 0.
С другой стороны, сумма, стоящая под знаком математического ожидания, содержит v[a, b) слагаемых, меньших чем —Ь, и, быть
5 i] МАРТИНГАЛЫ 14J
может, только одно, не превосходящее величины (?{N)— b)+. Таким образом,
— 6М {v (0, b] | gi> + М {(| (N) — Ь)+ | g,} > 0. ¦
Полученные неравенства легко обобщаются на бесконечные последовательности. Так, если п = 1,2, ..., неравенство (6) принимает вид
sup М|+ (п)
Р{ sup Ш>С}^ !<”<°°--------------------. (15)
1 <П< ОО ^
Доказательство вытекает из того, что
sup ln = lim sup ln,
1<!п<оо 1<п< /V
и поэтому
P{ sup g„>C} = lim P{ sup > C).
l^n<oo N~+°о 1 ^ n ^ Лт
Аналогично, если \N(a,b] обозначает число пересечений сверху вниз полуинтервала (а, b] урезанной последовательностью |(1), ..., |(Л0, а г,*,(а, Ь] — всей последовательностью, то из того, что vjv(tf, b] при возрастании N монотонно не убывают и b] — lim v„(a, b], следует
/V->oo
(b — a) Mvm [a, b] < sup M {%n — b)+.
1 ^ П < oo
Несколько иначе обстоит дело, если последовательность значений п не имеет наименьшего, но имеет наибольшее значение. Пусть п = ... —k, —k +1, ..., —1 (k > 0). Правые части рассматриваемых неравенств достигают максимума при п = —1. Таким образом,
Р{ sup (16)
Mvrc{а, &]<—............... (17)
Существование предела. Важную роль в дальнейшем играют теоремы о существовании предела субмартингала.
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Для того чтобы ограниченная числовая последовательность {сп, п = 1,2, ...} сходилась к некоторому пре-
делу, необходимо и достаточно, чтобы для любой пары рациональных чисел а и b (а <Ь) число пересечений сверху вниз отрезка (а, Ь] этой последовательностью было конечным.
142 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1ГЛ, III
Обозначим соответствующее число пересечений через v (а, Ь]. Если для какой-либо пары (a, b) v(a, ft] = оо, то последовательность сп не может удовлетворять критерию сходимости. С другой стороны, если сп не имеет предела, то с~ lim сп > lim сп = с. Если а и b рациональны, c<a<ft<c, то найдется бесконечно много nt и п'р для которых сп <а, с',ч> Ь, т. е. у {a, b\ — оо. g
Теорема 8. Пусть {gn, п = 1,2, ...} — субмартингал. Тогда-.
а) если sup Mg^~ < оо, то |0С = Пт|л существует с вероятностью 1 и М j goo I < оо;
б) если последовательность {gn, п — 1, 2, ...} равномерно интегрируема, то goo — lim g„ существует с вероятностью 1 и fl^l и
