Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
En<M{g00i«„}, 0=1,2,...
Доказательство. Покажем сначала, что последовательность {!„} ограничена снизу. С этой целью заметим, что {g, > Ь,
оо
inf i„ = — оо} cz П {v (— А^, Ь\ > 0}. С другой стороны,
N=1
м — г>)+ ма+ + ь
при N-+оо. Следовательно, с вероятностью llimv(—N, Ь] — О, а так как \(а, Ъ] — целочисленная величина, то v(—N,b] = О с вероятностью 1 при достаточно большом N. Таким образом, при любом b P{gi > b, inf g„ == —оо} = 0. Поэтому Р {inf g„ =
со
= — оо} ^ ? Р {g, > — k, inf с„ = — оо } = 0. Ограниченность
. Л=!
снизу последовательности gn доказана. Аналогично устанавливается, что она ограничена сверху. Последнее вытекает также из неравенства Колмогорова
— г _i_ 1 sup М?^
Pisup^^Cj^-V1-.
в силу которого Р {supgrt = + °°} = lim Р {sup g* >С}=0. Таким образом, последовательность {g„, п = 1, 2, ...} ограничена с вероятностью 1.
Из неравенства Дуба вытекает, что Mv(a, ft] < оо для любых а и Ь, так что р (АаЬ) = 0, где Ааь = {со: v(a, b] = оо}. Следовательно, если Л= U ЛоЬ, где суммирование распространяется
а, Ь
на все рациональные а и b, b >¦ а, то Р(Л) = 0. В силу леммы 1
§ ,] МАРТИНГАЛЫ 143
при (О ёА lim g„ = ?«, существует. При этом ||я| = — 1п>
М||Я| = 2М|+ — Mgn<2sup — М|, < оо, так что
М ! | = М lim [ g„ 1 < lim М11п \ < оо,
и утверждение а) теоремы доказано.
Предположим теперь, что последовательность {?„, п = 1,2,...} равномерно интегрируема. Тогда М||„|^С, с вероятностью 1 существует предел = lim gn и M|g» — gn|-»0. Отсюда следует, что в неравенстве
$gmdP<$g„dP, т<п, Begm, в в
можно перейти к пределу при п-> оо под знаком интеграла, так что
|mdP<lim J lndP = J l^dP. ¦
в в в
Следствие. Если ?„, п = 1, 2, ..., — неотрицательный супермартингал, то предел = lim |п существует с вероятностью 1.
Теорема 9. Пусть {|„, Sn, п= 1, 2, ...} — мартингал и $ос — минимальная а-алгебра, содержащая все а-алгебры Sn.
1. Если supM||n|<oo, то lim существует с вероят-
ностью 1.
2. Для того чтобы последовательность |п, п = 1,2, ..., была равномерно интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая интегрируемая случайная величина л, что
1п = М(л18„}. (18)
Если это условие выполнено, то можно положить л = и в классе %^-измеримых случайных величин т] определяется однозначно (mod Р).
Доказательство. Утверждение 1 вытекает из теоремы 8. Если последовательность ?„, «=1,2, ..., равномерно интегрируема, то в силу теоремы 8 !«, = lim существует с вероятностью 1 и в S7! и ^ М(|оо |Sn}. Применяя это неравенство к последовательности —получим Еп = M{|«=|Sn}, п = 1, 2, ...
. . . , М I goo | < ОО.
Пусть т] — произвольная интегрируемая случайная величина. Покажем, что последовательность |n = M(ri|Sn} является равномерно интегрируемым мартингалом. Во-первых,
р Шп I > С} <о
144 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГГЛ III
при С -> оо равномерно по п. Далее,
S is n\dP= S tndP- J \ndP =
{11,1>с} {*„>CJ {5n<-C}
= ^ t] dP — ^ ^ |ri|dP->0 при C->oo
{^>q {s»>-cj {|5„i>c)
равномерно по n, так как P{|?n| > C}->0 при С-> оо равномерно по п. Таким образом, последовательность ?„, п— 1,2, ..., равномерно интегрируема. Из равенств
м a„+I I = М {М {11 13„+1} | g„} = М {ri | ?„} = In
следует, что |п—Sn-мартингал. Остается показать, что т] в классе Soo-измеримых случайных величин определяется единственным образом.
Так как M{r|[Sn} = M{goo|Sn} для любого п, то
$Л<*Р=фсо<*Р (19)
А А
для любого множества А, принадлежащего какой-либо ст-алгебре 8„. Но класс множеств А, для которых имеет место равенство (19), является монотонным и содержит алгебру мпо-
оо / °о \
жеств U Поэтому он содержит и ст-алгебру ст { U f •
п = 1 (,П = 1 )
Таким образом, (19) выполнено для любого А е Soo. Тем самым, если л — Soo-измеримая величина, то r| = (mod Р). Н
Следствие. Пусть %п — поток о-алгебр, $00 — о{т$п, п = = 1,2, .. .}, r| — Soo-измеримая случайная величина, А <= S*,. Тогда с вероятностью 1 и в 3?\
НшМ{г||Зп} = л, ПшР{Л |§„} = ХлМ. ¦
Рассмотрим субмартингал
• • • t-n’ ?-я+1> • • • > ?-1 С= S'_ra+I cz ... cz g_,). (20)
00
Обозначим 3_оо= П ?!_„¦ Результаты, получаемые в этом слу-
П — 1
чае, несколько сильнее предыдущих.
