Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 2. f*(u) = М{/(и) |3} (mod ц,).
Очевидно, что М{/(и) |3} является S-инвариантной функцией. Поэтому для доказательства следствия 2 достаточно проверить, что для произвольной ограниченной S-инвариантной функции
Mg (и) (Г (и) — М {/ (и) 13}) = О
или что M(g(«)/*(«)—g(u)f(u)) = 0; но последнее вытекает из (12), так что
П~\
(& («)/(«))* = lim-i- Y S (Sku) f (Sku) = g (u) f (u) (mod ц). ¦
ft=0
Эргодические стационарные последовательности. Возвратимся к стационарным последовательностям.
Пусть {|(0> t^T}—стационарная последовательность и {Хт, S, Р}—ее естественное представление.
Следствие 3. Если f— измеримая функция в {Хт, Э"1} и Щ (| (0), I (1), ..., | (m — 1)) Ф оо, то с вероятностью 1
а-1
-Jr?/(I(6)> Uk+ 1), ...,t(k + m- 1))->
fc = 0
-> М {/(1(0), |(1), ..., l(m— 1)) 13} при n-+oo,
где 3 — а-алгебра событий из инвариантных относительно сдвига времени.
Рассмотрим произвольное событие У1е^ и последовательность событий, получаемых из А «сдвигом времени» — A, S±IA, S±2A,. . . Если Хп — индикатор события SM, то %п (п = 0, ± 1,...) образуют стационарную последовательность случайных величин
П— 1
и — Y Хь есть частота наступления события А, вычисленная по одной реализации последовательности {|(0. t = 0, 1, 2, ...}з
ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
159
В силу теоремы Биркхофа — Хинчина с вероятностью 1 существует предел
Ит ^1 = л(Л) = М{Хл|3} и Мя(Л) = Р04).
П-> оо П
Величину я (А) можно назвать эмпирической вероятностью события А. Она является случайной величиной. Естественно, возникает вопрос: когда эмпирическая вероятность я (Л) не зависит от случая и совпадает с вероятностью Р(Л)?
Стационарные последовательности, обладающие этим свойством, называются эргодическими.
Более общим является следующее определение. Определение. Пусть {U, S, jj,}—вероятностное пространство, S — сохраняющее меру преобразование U в себя, vn(/l) = = vn(A, и)—число членов последовательности {и, Su, ...
Sn~lu), попадающих во множество А. Преобразование S называют эргодическим, если для любого /leg
lim = |j. (A) (mod ц).
гс->°О п
Преобразование S называют метрическим транзитивным, если любое S-инвариантное множество имеет меру 1 или 0.
Теорема 2. Чтобы преобразование S в вероятностном пространстве {U, 5, м) было эргодическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
а) S метрически транзитивно\
б) для любой %-измеримой ц-интегрируемой функции f(u) функция
П— 1
Пи) = lim 4* Y.f(sku)
с вероятностью 1 постоянна.
Доказательство. Пусть А—S-инвариантное множество и 0<С^(Л)<С 1. Множества A, SA, S2A, ... отличаются друг от друга на множества меры 0 и vn(A) = n%A(u) (mod|.t). Следо-
вательно, lim ——— не может быть постоянной (mod величи-
Л->оо П
ной. Таким образом, из эргодичности следует метрическая транзитивность. Пусть теперь S метрически транзитивно. Так как функция f*(u) S-инвариантна, то симметрическая разность множеств
S_l{«: f*{u)<x} = {u: f* (Su) < x} и {и: f*(u)<x}
имеет ц-меру 0. Отсюда вытекает, что \i{u: f*(u)<. х}= 0 или 1 Для любого действительного х, т. е. /*(«)== const (modfi). Таким образом, из а) вытекает б). Наконец, условие эргодичности
160 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. III
является частным случаем условия б), а именно когда /(«) есть индикатор некоторого события. ¦
Приведем несколько следствий из эргодичности.
Пусть {X, 6, Р}—естественное представление стационарной последовательности ?(n), S— преобразование сдвига времени в Хт, {Хт, Р}.
Из следствия 1 теоремы 1 вытекает, что для произвольных функций /(«) и g(u) из 3?2
Г П~'
lim / (S*^) g (м) Р (d«) = ]f'(u)g(u)P(du). (16)
п~*°°хт
Будем говорить, что последовательность (%(п), п = 0, ±1, . ..} эргодична, если эргодическим является преобразование S. Положим g(u)= rj, f(Sku) — и предположим, что исходная стационарная последовательность {?(п), п = 0, ±1,...} эргодична. Соотношение (16) принимает вид
lim Т Y ^ = . (17)
to
Пусть g(u)= Хв(и), f(u) = %А(и), А и В <= ®. Из (17) следует,
ЧТО
гг — 1
lim -+-Y Р(5“МП5) = Р(Л)Р(В) (18)
И по /
?=о
или (если Р (В) Ф 0)
п- 1
1
п->оо
lim |У р(5_М|В) = р(Л), (19)
