Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
8i“8v
Теорема 4 .Последовательность {лй, k—\........../?} яв-
ляется субмартингалом.
Доказательство. Мы уже знаем, что величины лл gjj-изме-римы. Кроме того, М j | < оо. В самом деле,
М|л*КМ?|ШК°°.
А=1
Остается показать, что М {лй+, ] ^л*. Можно ограничиться
тем случаем, когда т&+1 — т* принимает два значения: 0 и 1.
^ I] МАРТИНГАЛЫ 137
Действительно, если это не так, то введем новую последовательность марковских времен а; == т*, о2 = rft+1 Л (cti + 1), ... ..., Gy = Tk+i = Tft+1 Л (адг-i + 1). Тогда {ok,k = 1, ..., N} образуют монотонно неубывающую последовательность марковских времен, для которых разности ah+i — aft принимают только значения 0 или 1. Если показать, что последовательность k = 1, •••, N) является субмартингалом, то отсюда будет следовать, что М{л(!+1|3;} = М|^|3;|>Ц = т1а) и тем самым
теорема будет доказана.
Итак, пусть Tfe+1—Tfe==0 или 1. Тогда для любого В е gj
5 Olft+i — 4k)dP = ^ (Л&+1 — 4k)dP =
в Bn{rfe+1-rft=l}
N
= Z S (5г+1 — Sr) rfP-
л = 1ВП(тй-л}П(тй + 1=л+1}
Но событие = {тй+1 = r + 1} = {t*+i > r) e= g,.
Поэтому В П {tfe == r} f] {tfe+i = r + 1} e= gr и
S (tr+i-tr)dP>0.
Bn(Tfe=r}n(tft + 1=r+1}
Следовательно,
\(4k+l-4k)dP>0 VBeg* в
что эквивалентно неравенству М {nft+11g?} ^т1*- И
Следствие. Если {|(, g(, t=\, ..., N) — мартингал,
... <тР— последовательность gt-марковских моментов времени, то {gTfe, gTft, k—Л, 2, ..., pj — мартингал.
Некоторые неравенства.
Теорема 5. Пусть {?„, g„, п = 1, ..., N}—субмартингал. Тогда
Р{ sup ОО. (6)
I < П < /V С
Если же {|„, gn, п = 1, ..., N)—супермартингал, то
2 sup М 11„ f Р{ sup .»<"<"--------------------. (7)
1 <n<W L
Доказательство, а) Пусть т = k, если ?,¦ <с; С, / = = 1, ..., А — 1, а > С. Если же ^ С для й = 1, ..., iV, то полагаем т = N. Величина т является марковским моментом
138 СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ИГ
времени и т «с; N. Следовательно, пара (fjT, |jv) образует субмартингал. Поэтому
СР{ sup \ ?TrfP< \ (8)
l<n<N ^>с)
б) Если последовательность \п — супермартингал, то М|0 > М|т >СР {sup 6„ > С} +
+ J gJVrfP>CP{suP6n>C}-Mg^t
{sup in < С}
откуда следует
CP {sup С} ^2 sup М|?„|. ¦
1 <п<Л/
Следствие 1. Если — мартингал и р ^ 1, то
МI ? I р
Р{ sup
к п < N С
Следствие 2 (неравенство Колмогорова). Если ?г, ... ..., ?>— независимые случайные величины, = 0, k = \, ...
..., N, то
N
Р { sup | ?[ + ?2 + ••• + %k I > С] ^ -ij- V (9)
«=*1
Неравенство (6) часто называют неравенством Колмогорова для субмартингалов.
Далее, если — произвольный супермартингал, то в силу
неравенства (6) CP {inf ?„ ^ — С} ^ М | %N I, что вместе с нера-
п
венством (6) дает
3 sup МЦ„|
Р{ sup !U>Q< ls?-->V---------------• (10)
В пространстве случайных величин, заданных на {Q, @, Р}, вве-
дем нормы, соответствующие пространствам gv = 3?v {Q, @, Р}. Положим
_2_ р
НР = {МШР}' = |$№) 1р^р|'
Теорема 6. Если %п — субмартингал, то при р > 1
МАРТИНГАЛЫ
139
1, Ж wС I, < 2 (l + М6+ (In g+)+> (12)
Доказательство. Пусть G(x), x^O,— произвольная монотонно неубывающая непрерывная функция и G(0) =0, л — некоторая неотрицательная случайная величина с функцией распределения F(x). В силу формулы интегрирования по частям
оо оо
MG (л) = J G (х) dF (*) = J (1 - F (*)) dG (х). (13)
О 0
Пусть л = max I* В силу (8)
хР {л > *}< ^ In dP Ух > 0.
{У\>х)
Поэтому 1 — F (х) = Р {л ^-j- ^ lNdP и
оо оо
МО(л)<54-Г S SwrfP)rfGW<S Mxft-*)^-^.
о МП >х) ) и
где х(*)=1 при х^О и %(х) = 0 при х < 0. Таким образом, МС(л)<МЕ+5^-.
о
Полагая здесь G(*) = |;c|p и воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим
