Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть уг — такая точка промежутка [а,-, р,], что при е k, Yi) х* (t) = х (т? — 0), а при / е [у,-, PJ x*(t) = x(xi) (в частности, если а,- = у<> то х* (t) на [аь р?] принимает единственное значение х(т()). Выберем е„, не превосходящее \/п, так, чтобы Aen(x)<\/ti. Пусть ф„(0 — функция, удовлетворяющая соотношениям Ф„(у;) — |фn(t) — Оценим sup| х* (^) —
t
— х(ф„(0)|- Если t не принадлежит ни одному из промежутков [а,-, Р(], то
I ** it) — * (ф„ (0) I = I X (ц (0) — * (ф„ (0) I < 2Де„ (*) + 1/«
на основании. леммы 1, так как x(i) между (A (t) и Ф„(0 не имеет скачков, превосходящих 1/п. Если (е [аг, yt), то
I -V* (0 — х (ф„ (0) I < sup \x{%i — 0) — *(s)|<Ae [х),
s^lb~en’xi)
поскольку \х{хI — 0) — x(%i)\> \/п. Аналогично устанавливаем, что при Р/] | х* (0 — х (ф„ (t)) | ^ АВп (х). Следовательно,
sup | л:* (t) — х (ф„ (0) | < 2Де {х) + 1/п < 3/п. t п
Оценим теперь р^ (*„,*)• Имеем Ps> (хп’ х) < Р.г (хп (0> х* (ц-1 (0)) +
+ ^(ФпО^ШЭ + Ря (*(*)» ^(Ф„(^‘(0)))<
< sup I хп (ц„ (0) — X* (О | + sup I X* (t) — X (ф„ (0) I + t t
+ sup|/ —ф„(ц->(0)|<^ + | +
+ sup| М*) — Фп(0К-^- + -| + -^Г+ 8
Таким образом, р^, (хп, х) ->¦ 0, т. е. последовательность хп сходится к функции x(t). ¦
Теорема 2. Если конечномерные распределения последовательности процессов ln(t), не имеющих разрывов второго рода, сходятся к конечномерным распределениям процесса | (t)
546 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
и для любого е > О
lim Пгп P{M6„(0)>e} = 0, (6)
С-> 0 tt-> оо
то для всякого функционала /, определенного на S5[0> ц и непрерывного в метрике ps, распределение /(|п(0) будет сходиться к распределению /(?(0)-
Доказательство. Используя замечание § 2, убеждаемся, что условие (6) влечет следующее условие:
limsupP{Ac(Sn(0)>e} = 0. (7)
с->0 п
Используя замечания 1 и 4 § 1 и теорему 1, видим, что для доказательства теоремы достаточно показать, что
lim sup Р {sup | ln {t) | > L} = 0. (8)
L-»oo n t
Но для всякой функции x(i) из S)[0, п
k
...... . 'X I
0<*<1 0<fe<ml
sup I*(OK sup Ix (—Л1 + А, (x), так как при /е[р, ^т\ или \x{t) — x I < Aj_ (я),
m
или x{t) — x ( k ^~) I < W- Поэтому p {sup I Init) I > L} < p { sup | g„ (^-) | > L - e} +
+ P{A_L(!„(-))>e}.
m
Случайная величина sup Inf—') ограничена по вероятности
\ m / \
равномерно относительно п. Это следует из сходимости конечномерных распределений ?п(0 к конечномерным распределениям
1(0 > чт0 влечет сходимость распределения sup Unf—•')! к рас-
I \ m / I
пределению sup \\(—-Значит,
I V от/I
Tim sup Р { sup | In (t) I > L } < sup P { A i (?„(¦))>»}.
L *> oo n t П m
Переходя к пределу при пг -» оо, убеждаемся в справедливости (8). Я
СХОДИМОСТЬ СУММ
547
§ 6. Сходимость сумм одинаково распределенных независимых случайных величин к однородному процессу с независимыми приращениями
Пусть Ini, |„2, • • ¦ . Inn при каждом п являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Положим Snh = |nl + ...-(- Ink- Рассмотрим случайный процесс
[? _ ] ? \
—п—' Tl)
(Sno = 0), g„(l)= Snn. Этот процесс является процессом с независимыми приращениями, имеющим разрывы в точках kjn. В этом параграфе будут исследоваться условия, при которых конечномерные распределения процессов \n(t) и распределения непрерывных в метрике функционалов от этих процессов будут сходиться к конечномерным распределениям и распределениям соответствующих функционалов от однородного процесса l(t) с независимыми приращениями. Мы будем считать, что выборочные функции процесса l(t) (который будет предполагаться стохастически непрерывным) с вероятностью 1 принадлежат SD\о,ц. Как известно (см. гл. I, § 3), характеристическая функция однородного процесса с независимыми приращениями может быть представлена в виде
= ехр{ ф'Ау + ^ (eiKu — 1 — - 2 ) -~2—dG (ы)]|, (1)
где G — монотонная ограниченная функция, причем формула (1) полностью определяет конечномерные распределения процесса ?(/). Свяжем с последовательностью сумм Snh две величины:
оо *
Чп = п dFn(x), Gn(x) = n ^j^-dFniu), (2)
