Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ Ра (г/, г) для всех л: ft), y(t), 2 ft) из 0[о<
Свойство а) очевидно. Свойство б) вытекает из соотношения
Рз>(у,х) = inf [suplyft) —*^ft))| + sup|/ —Я(/)|] = л<=л t t
= inf [sup| (/(V'(/)) — .v(/)| + sup|A_1(/) — f|] = P®(*, y).
А 'еЛ * *
Остановимся на свойстве в)— неравенстве треугольника. Пусть ж ft), y{t) и z{t) — некоторые функции из 2)[а, ц. Для вся-,
кого 8 > 0 можно указать функции Я] ft) и Я2(/), для которых
выполнялись бы соотношения
9з> (х> У) > sup | л: ft) — у (Я[ ft)) | + sup 11 — ft) | — е,
9® (У. z) > sup [ у (t) — z (Я2 (0) I + sup [t — Я2 ft) | — е. ^
Тогда
Р® (*, z) < sup | х ft) — 2 (Я2 (Яi ft))) | + sup 11 — Я2 (Я, (/)) | <
< sup | X ft) — у (Яj ft)) ] + sup 11 — Я, ft) 14-t t
-f sup | у (Я! ft)) — 2 (Я2 (Я! ft))) | + sup I Я, ft) — Я2 (Я, ft)) I = t t
= sup I X (/) — у {%i ft)) | + sup 11 — Я, ft) |'+ t t
+ sup | у (t) — z (Я2 (0) I + sup 11 — Я, (/),|, f t
так как если t пробегает [0, 1], то Я] ft) будет также пробегать отрезок [0, 1]. Учитывая соотношения (3), получаем
9з (*> z) < (*> У) + Рз> (У> z) + 2е-
откуда ввиду произвольности е > 0 и вытекает в).
Положим
Лс (ж) = sup [min {| * ft') — х ft) I; | x ft") — л (/) |}] +
+ sup | ж ft) — x (0) 1 -j- sup | я ft) — * (1)|.
1 —• С t 1
§ 51 ПРОСТРАНСТВО 5>[0_ j] 541
Легко убедиться, что для x{t)^.SD[o, ц
lim Ас (х) = 0.
с-» О
Лемма 1. Пусть x{t) — функция из 0®, и и [а, |3] с [0, 1]. Если x(t) не имеет скачков, превосходящих г на [а, 0], то при U'-ГКс, t',
| х {t') — х {t") | < 2AC (x) + 8.
Доказательство. Выберем произвольное бе(0, s) и точку т в промежутке [/', t"\, обладающую свойством: при / е [t', х) j х (О — х (0 | < Ас (х) + б, | je (/') — je (т) | > Де (*) + 6. Если такой точки нет, то тогда | x(t') — х (t") | <1 Ас (х) + б и, значит, утверждение леммы выполнено. Если точка х существует, то, поскольку
min [ | х (т) — х ((') |; \х{х) — х (t") \ ] < Ас {х),
а | х(х) —¦ x(t') | ^ Ас (х) + б, имеем | х (т) — x{t") |^Де(х). Таким образом,
| х {t") — х (t') К | х (t") — х (т) | + \х (т) — х (т — 0) | +
+ | х (т — 0) — х {t') [ ^ 2ЛС (х) + б + 8.
Переходя к пределу при 6 j 0, получаем доказательство леммы. ¦
Обозначим через Нт „ совокупность функций x(t) из Ю[0, и,
V k k+\ \
постоянных на каждом из интервалов 1-^-, —-—I и принимающих значения, кратные т.
Лемма 2. Для каждой функции x(t) из 3)[о, и существует функция X*. (t) из Нт, п ТйКйЯ, ЧТО
9® (х> х*) < •j + “j- + 4Д_2 W •
П
[fa. k -4- J \
—, —I найдется
не более одной точки, скачок в которой превосходит 2А2 {х).
П
Действительно, если т — одна такая точка, то тогда | х (s) — х (х — 0) | = min [ | х (s) — х (т — 0) |;
\х(х) — х(х — 0)|]^Aj_(a:) при se^, т|,
П
| X (s) — х (т) К Al (х) при se=[r,
542 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
и, значит, |*(s) — x(s — 0) |< 2Aj_ (x)< 2Д^ (*). Пусть т* —точка
П П
отрезка ~~~] > в которой | x{xk) — x(xk — 0) |^2A^ (х), если
такая точка в этом отрезке существует. Обозначим через Х(1) функцию из А, для которой X ( к 1 ) = хк и t — ^ (t) ^.t
(такой будет, например, кусочно линейная функция, определяемая равенствами X (0) — 0, X = ть X (1) = l) . Положим
x(t) — х(Х (/)). Функция x(t) будет иметь разрывы, превосходящие 2Аг_ (х), лишь в точках вида —, и
П
Р<2> (х, х) < sup|х (0 — л: (А, (()) | + sup \t — X (t) |< .
t t П
Пусть, далее, х* (t) — функция, равная *(“¦¦) ПРИ Тогда
Ри, (х, х*Х sup | х (t) — х* {t) К sup sup *(0~ x(— 1 .
к ±<t<±tL \n;\
П ^ П
Так как скачки x(t), превосходящие 2A2 (x), происходят лишь
k fk k + 1 N
в точках вида — , то в полуинтервале —, —-—I таких скачков нет, и, значит, по лемме 1
U(4)— *(0|< 2A_i_ (х) + 2А_з_ (х) при
