Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 П П
Оценим A i (х):
П
А±(х)= sup [min {| х [t') — x{t)\; \x (t) — x {t") |}] +
n t- — <t'<t<t"+—
П П
+ sup |x(0 —x(0)| + sup |xft)~ *(1)1 =
o<*<— i—-<<<i
П П
= sup [min {| * {X {t')) — x (X (t)) |; | x (X (t)) — x(X (it")) |)] +
t- —
(I n
+ sup |x(A(0) — x(0)| + sup I x(X (/)) — *(1) I’
1—^-<<<1 Ц ft
§ 5] ПРОСТРАНСТВО ®[о, ц 543
Заметим, что при ^</2^1 +^-
2
так что 0 < A, (t2) — l(t{) ^ —. Поэтому Aj_(x)< Д_2 (л:). Значит, 9з> (*, х*) < 4Д_2_ (л).
Л
Наконец, положим х*(^) = Ent (тх* (t)), где Ent (*) — целая часть х. Так как \х* {t) —x*(t)\^.-^, то
9s> (Л:>х*) ^ Рв (*> *) "Ь (*> **) "Ь Р& (**’х*) ^ \ "Ь ^Д_2_ М "Ь ~ffi • ®
П
Следствие. Пространство 2D[0 х] с метрикой сепарабельно.
Теорема 1. Пусть L — некоторая положительная постоянная, а со (б) — функция, определенная, непрерывная и монотонная при 6 > О, причем lim со (6) = 0. Обозначим через K(L, со) мно-
жество функций из 2D[0 1]5 удовлетворяющих соотношениям |л:(^) |^L, ДДх) ^со(с). Тогда K(L, со) является компактом в ме-трике ря.
Доказательство. Заметим, во-первых, что для каждого е > 0 К (L, со) имеет конечную е-сеть; такую е-сеть образуют функции из Яш, „, удовлетворяющие соотношению |jc(^)|^L, если тип
выбраны так, что — + — + 4со (—) < е. Множество К {L, со)
tl ftl у tl /
замкнуто. Легко проверить соотношение
Acto<Vp^(*,,>) + 3Ps(*> У)-
Поэтому, если {хп, х) -> 0 и хп е К {L, со), то для всякого
а > 0 __
Дс (х) ^ lim Дс+а (л:„) + За со (с + а) + За.
П->ео
Значит, ввиду непрерывности со Дс (Jc) ^со(с). Очевидно также, что sup | jc (/) | ^ sup | у (t) | + 3p^j {х, у), так что
sup | i (/) К lim [sup I х (t) I + 3ps (*„, *)] < L.
t n-*<x> t
Следовательно, предел последовательности, принадлежащей K(L, со), будет также принадлежать K(L, со). Остается показать, что всякая фундаментальная последовательность xn(i),
544 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
принадлежащая K(L, со), будет сходящейся (тогда мы покажем, что K(L, со) является полным метрическим пространством с конечной е-сетью для каждого е > 0, а это и означает, что K(L, со)—компакт). Пусть xn(t)—последовательность функций из K(L, а»), для которой ря (хп, хт)—> О при п и т —> сю (т. е. xn{t)—фундаментальная последовательность). Достаточно показать, что некоторая подпоследовательность xnk(t) имеет предел x(t). Поэтому можно считать, что последовательность xn(t) такова, что ря(*п, *п+1) < n+j~ ¦ Тогда существует последовательность функций Xn(t) из А такая, что
sup | хп (t) — хп+1 (А,„+1 (0) I < ~^г, t ~
sup I / — x„+1 (0 | ^ -
Положим ц1(/) = Я1(0, Цп(0 = (ц„_1 (t)). Так как
sup I |Х„(/) — ^-i(/)K^,
то цп(0 сходится к некоторой неубывающей непрерывной функции ц(/), удовлетворяющей условиям ц(0)=0, ц(1)=1. Далее,
sup | хп (ц„ (0) — хп-, ((х„-1 (t)) | = sup | хп (Хп (t)) -ViWI<4. t t г
Поэтому xn(\xn(t)) равномерно сходится к некоторой функции х* (t) из 2)[о, и. Рассмотрим связь между функциями х* (t) и ц(/)- Пусть |а(0 постоянна на некотором промежутке [а, р]. Если г*(а)= **(Р), то x*(t) также постоянна на [а, р]; если же л:* (а) ф х* (р), то существует такое у ^ [сх, р], что x* (t)— х* (а) при t е [а, у). ** (0 = **(Р) ПРИ t е [у, р]. Действительно, в противном случае нашлись бы такие точки t' <L t" <С t'", принадлежащие [а, р], что х*(1')Ф x*(t"), х*(У')Ф x*(t"'), и тогда
lim min [ | хп (ц„ {t')) — хп (цп (t")) |; | хп (ц„ (П) — хп (цп (*"')) I ] =
П->оо
= min [ | X* (t') - X* (Г) |; | ** (Г) - х* (t"') | ] > 0,
хотя \in (О < цп (t") < {t'") и \in (t'), (xn {t"), \in (/"') стремятся
к ц(а). Это противоречило бы тому, что последовательность xn(t) принадлежит K(L, со). Обозначим через x(t) функцию из 3>ю, и, определенную соотношением
**(0 = *(ИО). (5)
выполняющимся во всех точках t, в которых |^(s)> jx(/) для всех s е (t, 1]. Соотношение (5) определяет единственную функ-
§ 5) ПРОСТРАНСТВО 3)[0i ,] 545
цию x(t) из S)[o, 1]. Покажем, что эта функция x(t) будет пределом последовательности xn(t). Для этого построим вспомогательные функции cpn(t) из Л. Пусть ть т2, тк — все точки [О, 1], в которых x(t) имеет скачки, превосходящие 1/п. Обозначим через [аи р,] максимальный промежуток, на котором принимает значение т, (этот промежуток может содержать и одну точку).
