Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Разложение процесса на непрерывную и скачкообразную составляю-, щие проведено П. Леви [I]. Там получен и вывод общей формулы для характеристической функции процесса с независимыми приращениями. В частных случаях эта формула была получена Б. Финетти [1], А. Н. Колмогоровым [4]. Использованный в книге метод изучения процесса с помощью меры, построенной по скачкам, принадлежит К. Ито [1, 7].
§ 5. Рост однородных процессов с независимыми приращениями изучали А. Я. Хинчин [4], Б. В. Гнеденко [1], [2]. Закон повторного логарифма для винеровского процесса доказан А. Я- Хинчиным [1], гл. V.
Глава VII
§ 1. Основой общей теории марковских процессов послужила работа А. Н. Колмогорова [8]. Дальнейший анализ определения марковского процесса проведен Дж. Л. Дубом [1]. Наиболее общее определение этого понятия приведено в книге Е. Б. Дынкина [4]. Понятие строгой марковости изучалось Дж. Л. Дубом [1], Е. Б. Дынкиным [5], Е. Б. Дынкиным и А. А. Юшкевичем
[1]. Достаточное условие строгой марковости получено Е. Б. Дынкиным и А. А. Юшкевичем [1].
§ 2. Скачкообразные процессы с произвольным фазовым пространством изучены Дж. Л. Дубом, изложение его результатов имеется в его же книге [1].
§ 3. Процессы со счетным числом состояний, в том числе вывод уравнений Колмогорова — см. А. Н. Колмогоров [8]. Дифференцируемость вероятностей перехода установлена А. Н. Колмогоровым [13]. Теоремы существования решений уравнений А. Н. Колмогорова изучались В. Феллером [1], [2]. Общей теории однородных процессов со счетным множеством состояний посвящена книга К. Л. Чжуна [1].
§ 4. Многочисленные естественнонаучные примеры процессов Маркова, в том числе процессов рождения и гибели, можно найти в книге В. Фел-лера [3].
ПРИМЕЧАНИЯ
557
§ 5. Ветвящиеся процессы с дискретным временем впервые рассматривались в работе Г. Ватсона и В. Гальтона [1]. Общее определение ветвящегося процесса дано в статье А. Н. Колмогорова и Н. А. Дмитриева [1]. Для настоящего параграфа использована обзорная статья Б. А. Севастьянова [1].
Глава VIГI
Вероятностная трактовка явления диффузии рассмотрена А. Я. Хинчи-ным [1], гл. III. Стохастические дифференциальные уравнения для случайных процессов рассматривались С. Н. Бернштейном [1], И. И. Гихманом [1], [2], К. Ито [3], [4]. Здесь используется в основном терминология и обозначения К. Ито. Более общее изложение теории стохастических дифференциальных уравнений — в книге И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [1].
§ 1. Основные результаты этого параграфа принадлежат К. Ито [2], [6].
§ 2. Уравнения в такой форме рассматривал К. Ито [3], [4]; им доказана теорема существования и единственности, а также то, что решение будет процессом Маркова.
§ 3. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по начальным данным установил И. И. Гихман [2].
§ 4. Идея вывода уравнений Колмогорова, используя дифференцируемость решения стохастического уравнения по начальным данным, принадлежит И. И. Гихману [2]. Вывод уравнений для распределения аддитивного функционала от процесса броуновского движения принадлежит М. Кацу [1], [2], а в общем случае — Е. Б. Дынкину [3].
§ 5. Применение дифференциальных уравнений к случайным блужданиям в ограниченной области предложено И. Г. Петровским [1]. Диффузионные процессы в ограниченных областях рассматривал А. Я- Хинчин [1], гл. Ill, IV. Распределения функционалов, связанных с временем достижения границ одномерным диффузионным процессом, изучал Р. 3. Хасьминский [1]. Одномерные диффузионные процессы рассмотрены в книге И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [П.
§ 6. Условия абсолютной непрерывности мер и вид плотности для диффузионных процессов изучались И. В. Гирсановым [1] и А. В. Скороходом [4].
Глава IX
Предельные теоремы для вероятностей событий, зависящих от всей траектории процесса (вероятностей того, что процесс остается в криволинейной полосе), рассматривали впервые А. Н. Колмогоров [3], [5], И. Г. Петровский [1] и А. Я- Хинчин [1]. Первая общая предельная теорема для произвольных непрерывных в метрике 'й’ функционалов получена М. Донскером [1] (в случае сходимости сумм одинаково распределенных независимых случайных величин к процессу броуновского движения).
§ 1. Вопросы слабой сходимости мер в метрических пространствах изучал Ю. В. Прохоров [1], [3].
558
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 2. Общая предельная теорема для непрерывных процессов получена Ю. В. Прохоровым [1], [3].
§ 3. Предельные теоремы для различных частных случаев рассматривались А. Н. Колмогоровым [3], [5], М. Кацем и П. Эрдешем [1], [2]. Общая теорема принадлежит Ю. В. Прохорову [1], [3]. Частный случай (следствие) получен ранее М. Донскером [1].
§ 4. Конкретные случаи сходимости к диффузионным процессам рассматривал С. Н. Бернштейн [1], [3], А. Я. Хинчин [1], И. И. Гихман [4], [5], теоремы для ^-непрерывных функционалов — Г. Маруяма [1], Ю. В. Прохоров
