Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Теория условных вероятностей и условных математических ожиданий построена А. Н. Колмогоровым [7]. Дальнейшие усовершенствования принадлежат Дж. Л. Дубу [1].
§ 4. Общий закон «О или 1» открыт А. Н. Колмогоровым [7].
Глава III
§ 1. Мартингалы рассматривались разными авторами, но их систематическая теория многим обязана Дж. Л. Дубу [1]. Ему принадлежат основные неравенства для мартингалов, теорема о существовании предела, понятие по-лумартингала и другие результаты. Больше сведений о мартингалах можно найти в монографиях Дж. Л. Дуба [1], Мейера [1], Ж. Невё [2].
§ 2. Основные идеи и результаты этого параграфа принадлежат А. Н. Колмогорову и А. Я. Хинчину [1] и А. Н. Колмогорову [1]. Более подробно ряды независимых случайных величин рассмотрены в монографиях Дж. Л. Дуба [1], М. Лоэва [1], А. В. Скорохода [6].
§ 3. Возникновение эргодической теоремы связано с проблемами статистической механики. См. по этому поводу книгу А. Я. Хинчина [5]. Первые эрго-дические теоремы Дж. Неймана и Дж. Биркхофа послужили началом интенсивного развития теории. Обзор первого периода развития эргодической теории содержится в монографии Е. Хопфа [1]. Простое доказательство теоремы Биркхофа — Хинчина предложено А. Н. Колмогоровым [91, Дальнейшее развитие эргодической теории освещено в книгах П. Халмоша [2], П. Биллингслея [1].
§ 4. Задачи теории восстановления неоднократно обсуждались в тео-ретичесих и прикладных теоретико-вероятностных работах. См. В. Фел-лер [6].
§ 5. Цепи Маркова с конечным числом состояний были введены (1906 г.) и изучены А. А. Марковым [1]. Общее определение цепи и процесса Маркова принадлежит А. Н. Колмогорову [8].
ПРИМЕЧАНИЯ
555
§ 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний впервые изучались в работах А. Н. Колмогорова [6] и в дальнейшем многими авторами. См. В. Феллер [3], Чжун Кай-лай [1], Дж. Дж. Кемени, Дж. Л. Снелл, А. Кнапп [1].
Глава IV
§§ 1—3. Возможность построения случайного процесса, стохастически эквивалентного данному, выборочные функции которого удовлетворяют определенным условиям регулярности, впервые рассматривали Е. Е. Слуцкий и А. Н. Колмогоров (см. работу Е. Е. Слуцкого [2]). В дальнейшей разработке возникающих здесь вопросов и разных вариантов аксиоматического определения случайной функции много существенных результатов принадлежит Дж. Л. Дубу. Ссылки на первоначальные работы содержатся в его монографии [1]. Основные идеи и теоремы §§ 2, 3 принадлежат Дж. Л. Дубу.
§ 4. Теорема 1 в несколько более слабой формулировке была доказана Н. Н. Ченцовым [1], теорема 2 — Дж. Кинни [1] (для марковских процессов). Отсутствие разрывов второго рода у стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями установил П. Леви [1].
§ 5. Теорема 2 доказана независимо Е. Б. Дынкиным [1] и Дж. Кинни
[1] (для марковских процессов). Несколько более слабый вариант теоремы 6 принадлежит А. Н. Колмогорову и впервые опубликован в работе Е. Е. Слуцкого [2]; по поводу локальных свойств гауссовых процессов см. монографию Г. Крамера и М. Лидбеттера [1] и помещенный в ней обзор Ю. К. Беляева.
§ 6. Свойства выборочных функций полумартингалов рассматривал Дж. Л. Дуб [1].
Глава V
§ 1. Введение в теорию гильбертова пространства можно найти в книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [1], более полное изложение — в книге Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [1].
§ 2. См. Е. Е. Слуцкий [1], М. Лоэв [1], [2].
§ 3. Теорию стохастических интегралов предложил Г. Крамер [1]; А. Н. Колмогоров впервые выяснил связь стохастических интегралов и теории спектральных представлений случайных функций с теорией гильбертова пространства [10], [11], [12].
§ 4. Теорема 1 принадлежит К. Карунену [1], теорема 2 — Г. Крамеру [1]. Более подробно о спектральной теории стационарных процессов см. монографии Е. Хеннана [1] и Г. Дженкинса и Д. Ваттса [1].
§ 5. Более общую теорию линейных преобразований случайных процессов можно построить с помощью теории обобщенных случайных процессов, предложенной И. М. Гельфандом и К. Ито (см. И. М. Гельфанд и Н. Я. Виленкин
[1], К. Ито [5]).
§ в. Основные результаты для стационарных последовательностей получены А. Н. Колмогоровым [12], для процессов — К. Каруненом [2].
556
ПРИМЕЧАНИЯ
Глава VI
§ 1. Общая теория случайных блужданий изложена в книге Ф. Спицера [2], там же можно найти и указания на первоисточники. Условия ограниченности случайного блуждания и формулы для распределения максимума найдены Ф. Спицером [1]. Распределение величины и момента перескока изучалось Б. А. Рогозиным [1].
§ 2. Обобщенный процесс Пуассона был введен А. Я. Хинчиным [1]. Распределение величины и момента перескока через некоторый уровень изучалось в работах Б. А. Рогозина [2], Д. В. Гусака [1].
§ 3. Строгое построение винеровского процесса и изучение свойств его выборочных функций было проведено Н. Винером [1]. Условие непрерывности процесса с независимыми приращениями принадлежит А. Я. Хинчину [1], гл. I. Результаты теорем 2 и 3 вытекают из общих результатов И. Г. Петровского [1].
