Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
— с» — оо
где F„(x)— функция распределения величин lnh.
Теорема 1. Если существуют число у и неубывающая ограниченная функция G(x) такие, что уп -» у и Gn(x)=> G(x), то конечномерные распределения процессов ?„(/) сходятся к конечномерным распределениям процесса ?(/) с характеристической функцией (1). При этом для всякого функционала /, определенного на <Z>[0> 1] и непрерывного в метрике ря, распределение /(?«(•)) будет сходиться к распределению /(?(•))•
Доказательство. Поскольку ?п(0 также является процессом с независимыми приращениями, то для доказательства сходимости конечномерных распределений достаточно доказать, что
548 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
распределение Inih)—Еп(М при 0 ^ tx < t2 < 1 сходится к распределению Юг) — КМ- Это же вытекает из предельной теоремы для сумм независимых случайных величин (см. Б. В. Гнеденко [3], стр. 289). Воспользовавшись замечанием 4 § 1 и учитывая теорему 2 § 5, убеждаемся, что для доказательства теоремы достаточно показать, что для всякого е > О
lim lim Р {Дс(|„( •)) > е} = 0.
С->0 д-^ °о
(3)
Для доказательства (3) нужна следующая Лемма 1. Пусть • • •, In — независимые одинаково
распределенные величины. Тогда
р( sup min Г X Ъ 1*0L I k=i+l
Доказательство. Пусть i < j < l и I ? ^ I > e, I ? | J > e-
[ fe = i + 1 [ I fe = / -j- 1 I
Тогда или
? I*
k=i
> -J. или
? ь
k=r+1
>Y’ или
k=i
e
X i* >y Таким образом, событие •
k=r+1
( sup min ГI V Ik ; У h l>e) (/</</ LI *-i+i k=j+i |J )
влечет одно из событий Ar (г = 1, ..., п):
A- = {lii+ + k<~r—1; Hi+ ... +lr I>y‘>
supllr+i+ ••• + 1 •
l>r 1 >
Так как
Р(Л) = Р{|11+ ••• +UK-J. *<r-l;||i+ ... + 1,|>|}х
XP{suplIr+i+ ... + Ы>|-},
t) GV СХОДИМОСТЬ СУММ 549
то, учитывая, что величины одинаково распределены, получаем
Р( sup min ГI ? h ; S^ll>el^
U<t<* LUir+i k?f+1 |J J
<?p{|Si + ••• + Ы<1> k<r- 1;IS,+ ... +Sr|>|Jx
XP{sup|U)+ ••• + E,J>|-}<
+ + •••
/e<r-l;|?!+ ... + ir|>|} =
Возвращаясь к доказательству теоремы, заметим, что Ас(*(¦))< sup !*(*)-*(0)1 + sup \x{t) — *(1)| +
+ max sup min [| x(t')—x(t") |; \x(t") — x{t"')\],
Л L 1 &c<f'<f"<i'"<(fe + 3)c 0<k< —¦ с
Поэтому
р{дс(^(-))>е}<р{ sup 1Ы0-М0)1>|} +
+ P{ sup IU0-U1)I>t1 +
+ Zp{ su?„ , тИ1Ы*")-1„(П1;
1 <- kc^t’<tn< V’Cik+b') с
k<~
1^(Г0-^(П1]>1}<р{диРс11Л0-^(°)1 >t} +
+ p{ sup iui)-uoi>4} +
+?(p{ su? iuo-sB(^)i>f}y
‘—‘r* *- kc^t<(k + 2) с 4 J/
*<7
Если n < 1/с, то легко видеть, что Дс(?„(•))=; О, так как
in (0 постоянна на интервалах^, Если же п > 1/с,
то хотя число точек вида i/ti в интервале [kc, (k + 3)с] меняется с изменением k, однако оно не превосходит числа этих точек
550
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. IX
в интервале [0, 4с], так что всегда Р{ЛЛё„(-))>е}<2Р{ sup |g„(f)-U0)l>e/4} +
+ (1 + -г) Ср {W - S„(0) i > } )2
Для оценки вероятности
р| с 11 г* IS IA — i lew I ^ JLl Р I
sup I (0 — g„ (0) I > -f-} = P sup Ylni
I k^4nc
>f
введем величины lni = lni, если \ lni |< L, = 0, если | %nl | > L, %ni==%ni ini' Тогда
sup
1 <&<]V
к
+ p{ sup Tim >|}=yP{|E„(.|>L} + U<*<* Й j ti
N I-,
2>d
/=1 '
{-
+ P i sup
1<*<W
>t-
i—1
<NP{\%nl\>L} +
<
(f~n Im^ I)2
(мы воспользовались неравенством Колмогорова — замечанием к теореме 5 § 1 гл. III), если только N | М^', | < е/4.
Если L и — L являются точками непрерывности функции G, то справедливы предельные соотношения
lim пР {
onl
>
dGn(x)-
\Х\>1
\
dG (х),
\x\>L
lim rM%'nl — lim п \ х dFn [х) =
П-> оо П-*оо J
\x\<L
= V lim« \ :\~гх2 dFn (х) + lim n \ (х — . 2) dFn{x) —
П’*°° |*|>L "¦>0° |х|<?
= Y — \ -]~dG(x)+ \ xdG(x) = yL,
\x\>L IJC Ki
