Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Шп nDl'nl < limraM (Q2< Hm nM -L±^^ = (1 + L2) С rfG (*).
1 *T" *on{
СХОДИМОСТЬ СУММ
551
Поэтому, если 4с|у/.1<х> то
I
lim Р < sup
п->°° ( I <?<4пс
zt.<
(-1
>
<4 с
1 +
dG (х) +
Ас (1 + L2) jj dG (х)
(t-4cIyl|)"
Ul >L
Значит, для достаточно малых с
lim Р { sup |?„(0 — ?п(0)1 >4} где К — некоторая постоянная, так что
lim Р{ sup \ln{t) —|„(0)1>4 }</Сс.
Из последнего соотношения вытекает (3). В
Рассмотрим в качестве следствий из этой общей теоремы некоторые конкретные предельные теоремы.
Следствие 1. Пусть a(t) и b(t)> 0 — непрерывные функции, а — вещественное число. Если выполнены условия теоремы 1, то
ii>nip{a(4)-a44)<s^<a(l)+a4l)’ k=~n}=
= P{a(0 — ab(t) <!(/)< a(t) + ab{t), 1}
для всех a > О, для которых правая часть последнего равенства является непрерывной функцией а.
Следствие 2. Пусть g(x)—непрерывная функция, определенная при ie(—оо, оо); тогда, если выполнены условия теоремы 1, то
lim Р ¦
Л-> оо
{ 7Г < a } = Р {) *(| (0) dt < a }
для всех а, для которых
552 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ. IX
Доказательства этих утверждений получим, рассмотрев функционалы
1
f 1 (*(•)) = sup -щ-1 x{t) — a (/) I, f2 (*(•)) = J g (* (0) dt.
* о
Введем функционал Ya(^(-))> равный нулю, если sup x(t) <а,
0<f<l
и равный х(х) — а, если sup x(t)^a, где т— такая точка от-
0<(<1
резка [0, 1], что x(t)<a при / < т, а х(г)^а. уа(х(-)) называется величиной первого перескока функции х(-) через уровень а.
Следствие 3. Если а таково, что для всех tx < t2 е [0, 1] Р{ sup |(s) = a} = 0, то распределение V»(?«(•)) сходится
tx<S<t2
к распределению Ya(i(-))-
Это утверждение вытекает из замечания 3 § 1 и того, что Ya(*(•)) непрерывно на всех *(¦)> для которых а не является локальным максимумом.
ПРИМЕЧАНИЯ
Нижеследующие примечания содержат некоторые указания на литературу по затронутым вопросам и не преследуют своей целью дать полную библиографию или осветить историю основных идей теории случайных процессов. Во многих случаях мы позволили себе не ссылаться на оригинальные труднодоступные работы, а отсылали читателя к более поздним учебникам и монографиям, содержащим библиографию по соответствующим вопросам.
Глава I
§ 1. Систематическое изучение вопросов теории случайных процессов было начато в работах Е. Е. Слуцкого [1] и А. Н. Колмогорова [7], [8]. Главную роль в создании теории случайных процессов сыграли работы А. Н. Колмогорова [7], [8].
§ 2. Гауссовы процессы широко применяются во многих прикладных теоретико-вероятностных задачах (см., например, Г. Крамер, М. Лидбеттер
[1]), в задачах статистики, прогноза и фильтрации случайных процессов, в теории оптимального управления решениями дифференциальных уравнений, возмущаемых случайным процессом (Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев [1], К. Ост-рем [1]). Многомерное обобщение центральной предельной теоремы впервые было получено С. Н. Бернштейном [3].
§ 3. Впервые процесс броуновского движения рассматривал Л. Ба-шелье [1]. Толчком к изучению произвольных процессов с независимыми приращениями послужила работа Б. Финетти [1]. А. Н. Колмогоров [4] нашел характеристическую функцию произвольного процесса с независимыми приращениями и конечным моментом второго порядка; общая формула принадлежит П. Леви [1].
§ 4. Марковские процессы с непрерывным временем (в широком смысле) и их основные типы были введены в работе А. Н. Колмогорова [8]. Теоремы существования решений уравнений Колмогорова впервые рассматривал В. Фел-лер [1], [2].
§ 5. Стационарные процессы в широком смысле были введены А. Я. Хин -чиным [3]. Колебания со случайными амплитудами и фазами рассматривались во многих работах. См., например, Н. Н. Боголюбов [1]. Спектральное представление корреляционной функции стационарного в широком смысле
554
ПРИМЕЧАНИЯ
процесса было получено А. Я. Хинчиным [3], многомерное обобщение дано Г. Крамером [1]. Формула для корреляционной функции однородного и изотропного случайного поля содержится в работе Дж. Шенберга [1].
Глава II
§ 1. Общепринятая в настоящее время теоретико-множественная аксиоматика теории вероятностей предложена А. Н. Колмогоровым в 1929 г. и изложена в его монографии [7]. По поводу теории меры и интеграла см. книги П. Халмоша [1], А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [1]. Она изложена также в учебниках по теории вероятностей. П. Невё [1], М. Лоэва [1], П. Л. Хейнекена и А, Тортра [1].
§ 2. Основная теорема этого параграфа (теорема 5) доказана в монографии А. Н, Колмогорова [7] (для семейства случайных величин). Доказательство теоремы 6 можно найти, например, в книгах П. Халмоша [1], Ж. Невё [1].
