Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
kn—l
Hm Z M|?„,ft+1-|„ft|2+e=0
n-> oo &=0
u P-lim sup Z M (| ?„, i+1 — lni |2+e | lnk) = 0;
n-*oo k^O i = k
.. 1 Qn tfnk, x)
4) функции —j-------------------------------------------------г- и —j--г- равномерно ограничены от-
&n Vnk, X) Оп \tnkt X)
носителъно п\
5) предельное распределение величины ?п0 совпадает с распределением величины go-
Доказательство. Положим
S=i [|n,ft +1 Ertft &n(tnk, %nk) ktnk] (On(tnk> grtft)) • (1)
Тогда
In, ft+1 — %nk + «Л (tnk, Ink) ktnk + a„ (tnk, Ink) ank-
Обозначим через %nk минимальную ст-алгебру, относительно которой измеримы величины ?„0, \nk. Величина co„ft бу-
дет измерима относительно ст-алгебры Srt,fc+i> причем
М(м„«|8„») = 0, (2)
Рассмотрим величины определяемые соотношениями ЛпО ^InOi
Г|„, k+l == ЦпЬ "Ь О, (tnk, Цпк) Дtnk + CT (tnk, 'Пnk) ®пА>
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
529
и оценим М (ri„fc — Ink)2- Очевидно, что y\nk также измеримы относительно а-алгебры Имеем
Ля> &+1 %п, & +1 Л nk \nk “Ь (tnk, Лл&) ® ttnk> Snft)] ^nk
“Ь \^ttnk, Т]л<:) в (tnk> ^лfe)] ®nk “Ь == (tnk’ inft) ^nttnk’ Snfe)l “Ь (^л&> Snfe) ®nttnki Ел&)]®л&-
Поэтому, используя соотношения (2) и условия Липшица для а и ст, а также неравенство 2ab ^ а2 + Ь2, получим
Ml-n„,fe+1 Sn,fc+il ^
^ М I Лл? Snfc I ~Ь 2М (Цпк iraft) (fl (^я&> Лл&) ® (^nfc) %nk)) ^nk “Ь
~Ь 2М (т)п^ Srafe) (fl ttnky %nk) On (^л&> \nki) ^nk ~Ь
"i" M [(® (tnk, ^\nk) О ink)) №nk “Ь (& (^nk, Лл<:)
— o (tnh, Ink)) ®nk + e,nk]2 < M I r\nk — lnk f (1 + 2/C Atnk + Atnk) -f -(- M | й (tnk, 'ink) 0,n (tnk> Ink) I nk “Ь + 2M (a (tnk’ \k) - a (tnk’ lnk)Y Afnk +
+ M (ст (tnk’ Л„*) - ° (tnk’ Ink))2 M «k | §„*) + 2MeL <
^ M | f\nk — lnk I2 (1 + L Atnk) -f ank,
где L = 2K + 1 + 4/C2,
ank — M [a (tnk, — an (tnk, |„s)]“ (^tnk + 2At\^ +
+ M [ci(tnk, Ink) — on(tnij, lnk)]2Atnk. Так как M | ri„0 — ?„012 = 0, то M | gnl — r\nl \2 <a„0,
M||„2 — r]„212 ^an0(l + L Atn0) + anI ^ (1 + L Atn0) [a„0 + anl],
M 11„3 — тьз12 ^ [°ло + a„i] (1 + L Atn0)(l + L Atnl) + a„2 ^
^ [a„0 + a„i + апг] (1 + L Atn0) (1 + L Atnl),
Из условия 2) вытекает, что lim ? ani =0.
n-> oo i=* 0
Следовательно, конечномерные распределения процесса ln(t) будут сходиться к конечномерным распределениям процесса l(t), если только к конечномерным распределениям l(t) будут сходиться конечномерные распределения процесса г]п(/). где т}п(0— случайная ломаная с вершинами в точках (tnh, 'Ппь). Для дальнейшего доказательства понадобится
530
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
Лемма 1. Пусть wn{t)— X ank. Тогда конечномерные
распределения процесса wn(t) будут сходиться к конечномерным распределениям винеровского процесса w(t).
Для доказательства достаточно показать, что для всех %пъ, для которых sup | Knk | < оо, будет
П, k
lim М ехр { i X Kk®nk 1 —
гг->о© L ч )
— М ехр | i ^nk [w{tn, k+i) — W {tnk)] j] = o.
2
Заметим, что функция ----------- —^---------------------------------$+6- ПРИ 0 < S < 1 огра-
I ^ I' I x |-
ничена на всей числовой оси. Поэтому
- (1 + iXx- —-) | < О (Я2) | х |2+б
и, значит,
МПА‘“»* = М (Т[еа"ь*пк ) м [eil^nr\^nг] =
*-0 \А = 0 /
=м (П )м ['1+- % “«г+о о сопг г6) | s«;] =*
= М ( Д (1 - -% Ып) + О (М | со„г |2+6) =
= П О ~ Ф А/»*) + О ( Е М| со„, г). k=0 '•ft = 0 '
1 й
Из формулы (1) для co„fe и ограниченности — и -г1- выте-кает, что
М I |2+б < L (М 11„, ш - lnk!2+8 + | Mnk 12+5).
Поэтому
lim Е М | d)nk |2+е = 0,
» П~>оо k~Q
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
531
Далее,
пО-Ф*-)-п
пк к i
— Atnk
fe=»0 fe—о
= О (max Atnk) -> 0.
k
Следовательно,
( k*~X kn~' \
I * j] l«Ai - Yj I
lim \Me —e fe=0 / = 0.
