Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
k
m
= ? Р{||г|<2с, 1, 11* I > 2c, |gm|<c}<
ft-1
m
< ? P{llil<2c, t<*- 1, 1ЕП > 2c, ||m-|fc|>c} =
m
= ? M(P{||<K2c, *<Л-1,1Е*1>2с|Е*}Р{Е,»-Е*1>с1Е*}К
Jfe-1
m
<<x ? MP{||t|<2c, 1, |i,|>2c|U = aP{sup|ift|>2c}.
*=i *
Значит,
P {sup | I > 2c} < P {||m | > с} + P {sup | | > 2c, | lm |< с} <
к к
<Р{1Ы> c} + aP{sup||ft|>2c}.
k
Из последнего соотношения и вытекает доказательство леммы. ¦
Возвратимся к доказательству теоремы. Так как Р {|lnsk+l+1 Ей/1 > Еп/} ^¦gr М ([Ensft+1+i Еп/]21Еп/) —
538
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. IX
+ w>м ГI W м к | и 11J +
L г_/ J
Н §2" М { On (tnr> inr) On (^n/i in/) CO„rM (t?>n; | i„;) | inA =
\l=r<l<sk+i J
Г /sk+\ \2 5fe + i -I
~ ^ L \ ^~J- an^nr’ 0~n^nr, inr) ^ П.Г I in/J
и функции a„ и an ограничены, а sA+l
X А/„/</г + 2тахА/п/, r“sft >
то существует такая постоянная Нь что
P{|insft+1+i — Ui\ > S|in/}<^r(/z + 2maxA/„/).
Следовательно, при достаточно малых h и всех достаточно больших и
P{|inW,-M> е/16}<1/2, и тогда на основании леммы 4
р ^п^ _ ' ‘> е/4)^2Р {| insA+1+i— insft| > е/16}.
Из сходимости конечномерных распределений i„(/) к конечномерным распределениям i (/) вытекает, что
Пт Р {|i„Sft+i+1 - lnsk| > 8/16} <Р{I т + 1)А) - likh) I > е/16}. Значит,
Hm Р { sup | i„ (Г) —{t'1) | > е} <
п-юо U'-Г'КЛ
< 2 P{li(^ + /z)-i(^)|>8/16}<
kh< 1
< Z ("F")4 м | g + Л) — i (^Л) I4.
kh<l
Но при некотором L M|i(/ + A) — |(/)|4<L/z2 на основании следствия 2 § 2 гл. VIII, так что
Hm Р { sup | i„ (О -1„ (Г) | > е} < (-j-V Lh.
п-+ оо \ е /
Соотношение (6), а значит, и теорема доказаны. ¦
ПРОСТРАНСТВО s[0_ ,j
539
§ 5. Пространство функций без разрывов второго рода
Обозначим через Ф\о,\] совокупность функций x(t), определенных на отрезке [0, 1], принимающих вещественные значения и имеющих в каждой точке пределы слева и справа. Функции, совпадающие во всех точках непрерывности, будут считаться неразличимыми; поэтому естественно принять какое-то стандартное определение значений функций x(t) в точках разрыва. В дальнейшем будет предполагаться, что для всех функций из SD[о, и выполняются соотношения
x(t) = x(t + 0), дг(О) = лг(+ 0), х{\) = х{\ — 0). (1)
Изучение пространства 3)[0> ц полезно, так как существуют классы случайных процессов, у которых выборочные функции с вероятностью 1 не имеют разрывов второго рода (например, процессы с независимыми приращениями, марковские процессы при весьма широких предположениях). Чтобы можно было использовать результаты § 1, нужно ввести в 2)[о, i] метрику, в которой S)[0, и превратилось бы в сепарабельное метрическое пространство, обладающее тем свойством, что минимальная сг-ал-гебра, содержащая все цилиндрические множества, совпадает с сг-алгеброй борелевских множеств этого пространства. Желательно при этом, чтобы метрика была достаточно «сильной» (т. е. чтобы было возможно меньше сходящихся последовательностей и, значит, больше непрерывных в этой метрике функционалов). Равномерная метрика
Ри(х,у)= sup \x(t) — y(t)\
0<*<1
для этих целей не годится, так как в этой метрике 2)[о, п не будет сепарабельным пространством (множество функций xs(t) =
1 + sgn (t — s) n ,
=--------2-----, 0 < s < 1, имеет мощность континуума, но рас-
стояние между каждыми двумя элементами этого множества равно 1). Введем в пространстве Ж)\о,п метрику, являющуюся несколько ослабленной по сравнению с равномерной.
Обозначим через Л совокупность всех непрерывных монотонно возрастающих на [0, 1] числовых функций X(t), для которых А(0) = 0, А(1) = 1 (т. е. X отображает непрерывно и взаимно однозначно [0, 1] на самого себя).
Отметим, что для всех ).еЛ существуют обратные функции Я-1 е Л, также принадлежащие Л. Если %\ и Х2 е Л, то и сложная функция Л,1 (Л-2(*)) будет принадлежать Л.
Определим теперь для каждой пары x(t) и y(t) из SD[o, ц величину
9з>(х,у)= inf [sup|*(0 — y(K{t)) | + sup| / — A,(/) |]. (2)
\ e A t t
540 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
Покажем, что ps определяет метрику в ^ля этого
нужно проверить, что функция удовлетворяет трем метрическим аксиомам: а) р^(х, у)^0 и равно нулю тогда и только тогда, когда х = у\ б) (ж, у) = (у, *); в) ps (ж, 2) < ps (ж, у) -f
