Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
( Tft fk -
(А,, х) = ехр s ikx -f ik ^ a(s, x)ds — ^ o2{s,x)ds
xk-\ xk-\
— непрерывная функция х. Из замечания к лемме 1 вытекает, что
м(е<ЯМТ*)|т1*Дт0), <(т*_1)) = м{ехр(аг|;(тй_1) +
+ ik V a(tnr, <(**_,)) AOX
к— 1 ^пг хк /
XМ Гехр fik У
L \ /I -I У
при подстановке х вместо \\*п (тА_,) будет сходиться к Ф(Й0)(Я, х) равномерно относительно х в каждом конечном интервале. Поэтому на основании леммы 3 совместное распределение величин т1*(т0).....’InO^v) будет сходиться к совместному распределению величин т1о(т0), tf0(v).
Так как
sЫ - я; ы=& (тк_,) - % (тк_,) +
хк
+ J [а (5, Us)) — a(s, vZ(Tk_l))]ds +
zk-i
№
+ J [a (s, ? (s)) — a (s, tij (ta_,))] dw (s),
%k~i
то, используя условие Липшица и некоторые простые преобразования, получим
миы-п;ы|2=
= М \1 (т4_,) - rj; (т*_,) |2 + 2М 11 (тА_,) - г)* (т4_,) | X
Tfe
X 5 |a(s, | (5)) — a (s, 11* (Tfe_j)) | ds +
4-i
r 4 \2
+ м(^ J (fl(s, |(s)) — a(s, V0 0^,))) ds J -f
§ 4] СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА 535
/
+ М ( J (a (s, i (s)) — а (s, т|* (тк_,))) dw (s)
'Ч-i
<М||(та_1)-^(т*-1)|2 +
xk
+ 2/CM|S(TA_1)-r1;(Tft_1)| J | Е (s) — л* (ta_j) | ds +
xk-i
Ч
+ 2М J ([а (s, I {s)) - a (s, л*0 (T&-i))]2 +
xk-i
+ [cr(s, l{s)) — a(s, i1o(TA-i))]2)ds^
< M 11 (Tfe_0 - т,'0 (тк_,) |2 (1 + H (xk - xk_,)) +
xk
+ H J \l(s)-lbk-i)?ds, xk-i
где H = 2K + SK2. Следовательно, используя уже применявшиеся оценки, получаем
N xk
М(ЕЫ-Т!;(ТЙ))2<Я^МХ J
ft-l
Из следствия 2 § 2 гл. VIII вытекает, что
Mii(Sl)-i(S2)i2<c|Sl-S2i,
так что
М (ё Ы - < Ы)2 = 0 [mf (хк - (3)
Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что
J5Lм ^ _ =0 (т*ах (Т* ~ (4)
Заметим теперь, что, каковы бы ни были вещественные числа ки Кт и случайные величины |ь |m, т)ь х\т, справедливо неравенство
| М ехр (&& + ... + am|m) — М ехр + ... + \ <
^ М | ехр {/Aj (ii — -Л,) + ... + iKm (|m — rim)} — 1 | ^
^ M i (Ij — Tl]) + ••• + (lm ~ T1m) 1 ^
Vm m
2>? ? M(ift-ru)2. (5) ft-1 fe-1
535 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
Возьмем произвольные числа s1( sm из [0, 1]. Можно считать, что si = xk.. Тогда
iirn^ | М ехр {/ X Х{ц„ (rk])} — М ехр {/ ? ЯД (тАу)}) <
< Jirn | М ехр {/ Z ty]„ (тА/)} - М ехр {/ ? (*Л/) } | +
+ Йт | М ехр {/ X (тА/)} - М ехр {/ Z tylj (тА/)} | +
+ | М ехр {г Z Ьр'о (тй/)} - М ехр {i ? \-i (тЛ/)} | <
< О ^yjrn шах (хк — т*_,))
ввиду соотношений (3), (4), (5) и сходимости совместного распределения величин ti^(s/) к совместному распределению величин Произвольность max (т6— xk~i) убеждает нас
в справедливости теоремы. В
Теорема 2. В условиях теоремы 1 для всякого непрерывного на <g>io, и функционала f распределение /(§„(0) будет сходиться к распределению f(%(t)).
Доказательство. Учитывая сходимость конечномерных распределений процессов ln(t) к конечномерным распределениям процесса l(t) и замечание § 2, можем свести доказательство теоремы к доказательству соотношения
lim lim Р { sup | ?„ (t') — ?ft if") | > e} = 0. . (6)
ft-*oo n->oo |
Используя рассуждения теоремы 2 § 2, убеждаемся, что Р{ sup |L(0-Uni>e}<
Обозначим через sk наибольший из индексов г, для которых tnr ^ kh. Тогда
р{ sup I i„ (0 — in (ЩI > т 1 ^
<• ?Л</<(?+1)А 4 '
<р{, JU-5J>-t}<
^ Р { s <*<? +1 I ^nl ~ ^nSk I > 8" I '
Для дальнейшей оценки этой вероятности потребуется
§ 4] СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА 537
'Лемма 4. Если Еь |2. •••. 1т образуют цепь Маркова и с вероятностью 1
Р{1?т-6л1>с|Ы<<*. где а<1,
то
Р{зир|^[>2с}<-г^Р{||т| >с}.
Доказательство.
Р {sup [ | > 2с, ||J<c} =
