Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
(5) (с учетом значения rf). Щ
Применим доказанную теорему для доказательства абсолютной непрерывности мер, соответствующих двум диффузионным процессам, задаваемым стохастическими дифференциальными уравнениями
т
dh (t) = ai (t, h (/)) dt + Z bk (t, h (0) dwk (t), h (0) = x. (11)
fc=i
Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнений (11) удовлетворяют условиям-. I. Существует такое К, что
1) | а{ (t, х) — ау (t, у)\ + \а2 (t, х) — а2 (t, у) | +
ТП
+ Z \bk(t,x) — bk(t, у)\^к\х — у\\ fc«*l
m
2) [ а{ (t, х) |2 + | a2{t, x) I2 + ? \ bk (t, x) |2 < К (1 + | x |2).
fe-=i
II. Существуют такие непрерывные функции 'kl(t,x), ...
• • • у Xyfi (t, x) ,
m
a2 (t, x) — ax (t, x) = Yj К (t, x) bk (t, x).
ft=i
Тогда мера абсолютно непрерывна относительно и
= М|ехр|? J Хк (s, g, (s)) dwk (s) -1 ? ^(s))^} @«>1,
L о ft=i о J I J
(12)
где &' — а-алгебра, порожденная величинами ?i (t, ш), (e [0, Т].
Доказательство. Пусть {Q, ©, Р} — то вероятностное пространство, на котором заданы процессы Wh(t), k=\, ..., m, и
§ 6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 509
?i(0— решение уравнения (11) при t=l. Положим
т Т
Р (' ,V"f................. 1
( m Т m Т \
»(со) = ехр]? \xk(s, l^dwjs)-^ $rft(s>Ms))dsr
H-i о k=\ о >
Предположим сначала, что
Мр (со) = 1 (13)
(это будет, например, выполнено при ограниченных Xk(s, х) в силу леммы 2).
Обозначим Р меру на ©, определяемую равенством
Р(Л)= J p(<o)P(d<o).
А
В силу теоремы 1 процессы
wk (t) = wk (t) — J %k {S, tl (s)) ds
являются независимыми винеровскими процессами. Рассмотрим процесс |i(f) на вероятностном пространстве {Я, @, Р}. Он удовлетворяет соотношению
t m t
?i (t) — *о = jj fli (s, Si (s)) ds + Yj \bk (s, li («)) dwk (s) —
-1 0
m t
= J aj (s, I, (s)) ds + ]T \bk (s, I, (s)) [dwk (s) + Kk {s, |, (s)) ds] =
0 fe-l 0
= \\ai (s. ii (s)) + X) ** (s. li (s)) bk («, Ii W)1 ds + o L J
m t t
+ Z \ bk Si (s)) d®k (S) = J a2 (s, |j (s)) ds +
? = 1 0 0
m t
ft = l 0
Таким образом, h(t) совпадает с решением уравнения
m
dh (t) = a2 (t, % (t)) dt + Yh (t, h (/)) dwk (i)
k~i
510 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIU
на вероятностном пространстве {Q, <5, Р}. Поэтому мера Ц|2 совпадает с ц>2. В силу формулы (1)
^•(6i(-,<d))-M(p(«d)|64
теорема в предположении (13) доказана.
Покажем, что соотношение (13) всегда выполнено. Пусть X^ityX) таковы, что lk{t, х) — ^ {t, х) при | х | ^ N, {t, х) непрерывны, ((, х) = О при | х | > 2N и функция
т
af (t, х) = a, (t, х) + g яГ (/, к) bk (t, x)
удовлетворяет условиям
КЧ/, x)-aW{t, У^К^х-у],
|<>(/, x)|2<^(l+|x|2),
где К\ — некоторая постоянная (не зависящая от N). Тогда, полагая
р* (ш) = ехр | ? J (s, gj (s)) dwk (s) -
' А=1 О
т С 1
-4Е JEW. 6, (>))]¦*}.
k=i о J
будем иметь по доказанному
dV- an)
_5g_(g1(.> co) = M(pJV(<B)|B.),
где 1{2N) (0 — решение стохастического дифференциального уравнения
t т t
ЦМ (/) == Х0 + J af-1 (s, > (s)) ds + Yj \bk (s> Щ dwk (s)- (14)
0 k=l 0
Заметим теперь, что p^(co) = p(co) при sup|gi(/, со) |^iV. Поэтому
Mp (со) 1 {sup | h (t, ш) |< N] = MpN (w) % {sup | g, (t, ш) К N} = t i
= P{sup||<v)(0|<^}. (15)
