Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
х и один раз по t, ЬФ(t, х) — 0 и Ф(t, я) = 0 при t е(^0, ti), е D't, где Dt — граница Dt в &m, Ф (tux) = f (я). Тогда
Ф (t, х) = М/ (!It, * (*i)) X{Tf_
где xt,x — величина первого выхода из области D для процесса Ъ,х, являющегося решением уравнения (14) § 2.
Доказательство. Используя формулу И то (см. (11) в § 1) при xt,x > t\, можно доказать, что
ф (f|, I (*l)) - Ф (t, х) = 5 1Ф (S, ь, х (s)) ds +
t
m m
+ J lt,x(s))dwk{s). (1)
l t <=j
494 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Формулу (1) можно получить следующим образом. Пусть Dn — последовательность односвязных компактов в [ta, Г] X &т, Для которых DnczDn+ь U Dn = D. Обозначим через Фп(^, х) функцию, совпадающую с Ф(/, х) на Dn, дважды непрерывно дифференцируемую по х и один раз по t и ограниченную со своими производными на [4, ПХ^™ Тогда к Фп(1,х) применима формула Ито и
фп (tu It, X Ш — Ф/г (t, х) = J 1Ф„ (s, g,, * (s)) ds +
t
m i1 m
+ Z S Y,-&T(J;>n(s,it,x(s))bki(s,li.x(s))dwk(s).
k=\ t г-i
Очевидно, что при tL < xt< x будет и t{ < при некотором достаточно большом га, где хf]x — момент первого выхода из Dn процесса %t х (s). Но при s <1 xf\
Ф«(5, .v(s)) == Ф(s, it.xis)),
L®п is, I*. х (s)) = ЬФ (s, & x (s)),
¦h Ф" (s> - (s)) = "Г7 Ф (s> *(s))<
ox1 dxl
Тем самым формула (1) доказана
Пусть x'n — t{ Д tW. Тогда т' — марковский момент и при s < т' ЬФ (s, g(> х (s)) = 0. Поэтому
ф«> &*.*(<,)) =
/
Т„
т J1 т
= Ф (/,*)+? ) gf,*(s))d^(s).
А-1 t г-i 1
Беря математическое ожидание и учитывая, что при т' аФ , «.
tt(s> I*.
дх1
получим
•“7 (s> h, х ($)) ограничены, так как (s, g*t х (s)) лежит в компакте Dn,
МФ«,1«)) = Ф(^ х).
Переходя к пределу при га-*оо, получим
МФ(ть * Д lu Д /!)) = ©(/, х).
§ 51 ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 495
Но при tl >xt,x ф (т,., A tl, I (xt. х A tl)) «= Ф (xt, „ I (т*. *)) = О, так как точка l(xt,x) лежит на границе Dtt . Поэтому
МФ(ТЛД. Д ti,l(xUx/\ ^)) = МФ(/Ь je(/i)) X{t,. *><,} =
= Mf {li, х (t0) x><,}* в
Для того чтобы определить совместное распределение т и ?(т), достаточно определить Мг|? (х, ?(т)) для всех достаточно гладких функций а|i(t,x), заданных на границе Г области D.
Теорема 2. Пусть v(t,x) — непрерывная функция в D U Г, для (t;x)^D Lv(t,x) = 0 и при i > t0, (/;л:)еГ v(t,x) = = (t,x). Тогда
v(t,x) = b/\y(xUx, lt,x(rttX)).
Доказательство. Опять используя формулу Ито и те же рассуждения, что в теореме 1, можем получить равенство
и (т%> к х (т("!*)) -у (*. к х (0) =*
Х(Я) m *>х m
= Z J (s’^.x(s))bki{s,h,x(s))dwk{s),
&=! t i = 1 X
так как при sCt*,* (s, Беря математическое ожи-
дание на основании формулы (14) § 1 находим
у (*, х) = Mv (т« , ^(т^)).
Переходя к пределу при п->оо и используя равенство ® (^t, XI If, х (Ti, х)) ~ Ф (Tf, х> If, х faf, л))
(точка (тt,x, ж))^ Г), получаем доказательство тео-
ремы. ¦
Рассмотрим теперь однородный процесс l(t), являющийся решением уравнения
m
dl(t) = a(l(t))dt+Y Ml(0)dwk(t), (2)
определенный при fe[0,oo). Через lx(t) обозначим решение уравнения (2) с начальным условием ?(0) = ,v. Пусть G — некоторая область в 31т. Пусть D = [0, оо) X &т- В этом случае вместо решений уравнения Lv — 0 (параболического типа) для нахождения величин, рассмотренных в теоремах 1 и 2, можно использовать решения более простого уравнения (эллиптического
496 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. VIII
типа) с дифференциальным оператором
т
= + - Z (3)
i=-l «, /=*! *=-1
Теорема 3. Пусть f — ограниченная непрерывная функция в замыкании G, и^(х)~ функция, удовлетворяющая условиям-, она определена, непрерывна и ограничена в замыкании G,
дважды непрерывно дифференцируема в G, удовлетворяет соотношению
^и^(х) LiU^(x) = f {х), k > 0, (4)
и их{х) = 0 на границе Г области G.
Тогда
