Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР
Оценим М j If) (() р. Поскольку
511
M|if>(/)|2<(m + 2)
КР+М
jaf>(S, if>(s))
ds
+
+ м X \bk (s, if > (s)) dwk (s)
u
= (rn + 2)
:+MS
af (s, if) (s))|2 +
+ El^(5;if)(S))pldS]<
4=1 -*
(m + 2) |j jc0 P + (TKi + rtiK) \ (1 + M | if (s) p) ds ,
то, используя лемму 1 § 2, убеждаемся, что существует /С2 (не зависящее от N), для которого
Имеем
M|if>(0|2<*2.
Р {sup | if) (t) | > JV} < P | JI of > (s, if) (s)) | ds
(16)
+
m t \
+ X sup J bk (s, if) (s)) dwk (s) > N - | *01 >
fc=l П J
fc=l
Используя неравенство Чебышева, оценку г т
5 I of > (s, if) (s)) | J 1 (1 + | flf > (s, if) (s)) I2) ds
о 0
T
+j/c.So + lif^P)^,
512 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
а также свойство V § 1 для стохастических интегралов, по которому
Р | sup | j (s, ?f > (s)) dwk (s) J > с j <
T T
< 1 5 M I bk (s, ?f > (s)) f ds < § 5 M (1 + I if) (S) I2) ds,
0 0
и, наконец, (16), убеждаемся, что
p {sup |1Г W|>«}=> 0(^3-),
и, значит, правая часть (15) стремится к 1 при N оо, Поэтому
Мр (со) = lim Mp(co)%{sup[ |i (/, со) | ^ N} = 1.
t
Тем самым доказана справедливость (13) и теорема. В
Замечание. Пусть матрица B(s, х) = (bkj(s, х)), j,k =
— X, . . . , т (bhj — координаты вектора bk), невырождена. Тогда в условиях теоремы 2
(Si (• , ©)) = Р И-
Чтобы убедиться в этом, покажем, что р(со) является S^'-изме-римой величиной. Для этого достаточно показать ©^'-измери-мость процессов wh(t), k — 1, ..., т. Обозначим chj(s, х) элементы обратной матрицы к матрице B(s, х):
т
bkj(s, х)Сц (S, х) = 6kj.
Пусть, далее, O = s0<si< ... <sn — t, &st = sJ+1 — st) тогда
n—1 m
wk{t)= lim У Tc,k(si, h(si))X
max As^O
[sl+1 Tj
EUS».)-5!(S<)- \ <¦!(*. &,(»))*] (17)
в смысле сходимости по вероятности; здесь |{ и а{ — координаты векторов |i и ai. Действительно, выражение под знаком
§ 6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР
предела справа в (17) имеет вид
л-1 т т sl+1
Y Yj C!k (Sb I (Si)) 2 S bH (S> 61 (S)) (S) =
/=0 /=1 i=l
n—I m m s/+ j
“ZEE $ C/fc(Sb Si (S/)) Ьц (s, ?, (s)) d®, (s) =
/¦=0 /=1 «=1 sz
m f
=X! ^ ^in) (s) dwi (s)>
/=1 о
где
m
(s) = ? bt, (s, ii is)) Cjk (sh ?i (s,)) при s, < s < s/+1.
Заметим, что tyf-1 (s) — &ik->0 равномерно при max As,->-0 в силу непрерывности функций bij(s, ?i(s)) и Cjk(s, |i(s)). Тем самым, (17) вытекает из свойства IV § 1 для стохастических интегралов. Очевидно, что правая часть (17) ©^'-измерима.
ГЛАВА IX
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
На протяжении этой книги уже неоднократно встречались процессы, которые получались предельным переходом из более простых случайных процессов.
При изучении случайных процессов значительное внимание уделяется методам нахождения распределения различных функционалов от случайного процесса, например:
^2
\ f(l(s))ds, sup l(t), inf l{t).
J <,««2 <!<<<<„
t 1
Естественно поставить вопрос: если процесс \{t) получается определенным предельным переходом из последовательности процессов ln(t), то нельзя ли получить и распределения функционалов от процесса ?,(t), зная распределения функционалов от процессов ?п(0?
В дальнейшем мы будем предполагать, что последовательность процессов %n{t) по крайней мере слабо сходится к некоторому процессу %(t), т. е. конечномерные распределения ln(t) сходятся к конечномерным распределениям l(t). Эти требования являются слишком слабыми, чтобы из них можно было вывести сходимость распределений для достаточно широкого класса функционалов (например, для функционалов, отмеченных выше). Поэтому естественно искать дополнительные условия, при которых распределения функционалов из некоторого класса F от процессов In (t) будут сходиться к распределениям соответствующих функционалов от процесса l(t). Класс функционалов F должен быть таким, чтобы f(ln(t)) и f(l(t)) при / е F были случайными величинами. Следовательно, выбор класса F должен зависеть от свойств процессов ?,n(t) и l(t).
