Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5] ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 499
где gs — а-алгебра, порожденная величинами wk(u), и <с; s, k = 1, т. Таким образом,
хх
Мп (X) = М 5 лМ [(т, - s)"-11 &] ds =
О
оо
= пМ J %рх> ,}М [(тж — s)n_11 Sj ds =
О
оо
= п J Мх{Тл:>«}М [(т* — s)"-11 gs] ds =
0
oo xx
— n J >*}(** — s)n"‘ ds — M J n{xx — sf~x ds = M (т,)\
о 0
Рассмотрим одномерный однородный процесс \x(t)> являющийся решением стохастического уравнения
t t
tx (t) = X + J a (lx (s)) ds + ^b (I, (s)) dw (s), о 0
коэффициенты которого удовлетворяют условиям теоремы 1 § 2. Пусть хх — момент первого выхода процесса из интервала (а, р). Введем функцию
X ( у ч
<р(лс) = J ехр | J dz > dy.
а ^ а '
Легко видеть, что функция ф(я) является решением уравнения а (х) ф' (jc) + jb2 (х) ф" (х) = L1(p — Q
(такой вид в данном случае имеет оператор L\). Всякое решение уравнения Lu = 0 имеет вид ы = с!ф + с2, где с\ и с2— некоторые постоянные. Используя замечание 1, можем записать
Мф (!* (т*)) = ф (дс).
Покажем, что хх — конечная величина. Для этого найдем решение уравнения
500 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. VIII
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию Л1](а) = = 0, имеет вид
а
Значит, учитывая, что ф(р)=5^0, находим
м м_______о ф(*) [ Ф (Р) - Ф <z) ¦ dz I 2 [ V (*-}-~ Ч(г) dz
М^)~ * ф(р) ) ь2 (г) ф' (г) az + z) ft*(z)<p'(z) flZ*
а а
В силу замечания 2 Мт* = МХ (х) < оо. Из конечности т* вытекает, что ?(тж) принимает с вероятностью 1 одно из значений а или р. Поэтому
ф(*) —Р {?(**) = Р}ф(Р). РЙЫ =¦» = ¦*$-. Р(1Ы = а} = ^ЬД.Ё)..
Пусть а — 0, 6 = 1. Тогда ф(л:) = л: —а,
РЙ(т,) = а} = |^-, P{S(T,) = P}=f^-.
В этом случае легко подсчитать все моменты величины хх Уравнение для Мх (х) имеет вид
1мГ(х) = -1, АМа^М^-О, Л1, (*) = (*-а)(*-р).
Для Мп{х) имеем уравнение
1 М''(х) = - nMn-i (х), Мп (а) = Мп (Р) = 0.
Значит,
х В
Мп (х) = 2n\j{x — z) Mn-i {z) dz + 2 п~^ J (р — z) Af„_, (z) dz.
a a
Это соотношение позволяет рекуррентно вычислять все моменты величины тж. Распределение т* можем найти с помощью замечания 2:
Ме“*т* = рх(лс),
где (я) — решение уравнения
jv'k{x) — Xvk(x) = 0
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР
501
с граничными условиями vh(a) = = 1. Значит,
съ[^Ц±] ¦
§ 6. Абсолютная непрерывность мер, отвечающих диффузионным процессам
Если КО—некоторый случайный процесс, определенный на [0, Г], принимающий значения из &т, то по теореме Колмогорова (гл. II, § 2) ему соответствует мера в пространстве 5)>
где У [о, т] — пространство всех функций x(t), определенных на [0,7] со значениями в 3?™, g — а-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Если заранее известно, что процесс КО непрерывный, то меру, соответствующую процессу, можно построить на (^[о.г], 5), где Ф’щ.г] — пространство непрерывных функций. Далее мы будем рассматривать только непрерывные процессы и меры, отвечающие этим процессам, будут заданы на «?[„,т]. Обозначим через щ меру, отвечающую процессу ?(•)• Нас будет интересовать, при каких условиях для двух диффузионных процессов ii (•) и %2 (•) меры, соответствующие этим процессам, будут абсолютно непрерывны одна относительно другой.
Напомним, что если на измеримом пространстве (X, S3) заданы две меры jj,j и ц2, то ц2 абсолютно непрерывна относительно fii, если цг(5) = 0 для всех Вей, для которых т(?) = = 0. Известная теорема Радона — Никодима утверждает, что jli2 абсолютно непрерывна относительно щ тогда и только тогда, когда существует такая Э-измеримая неотрицательная функция р(х), что для всех Ве0
МЯ)= J р(*)М^)-
в
Функция р(х) определяется однозначно с точностью до множеств, мера jj-i которых равна 0; она называется плотностью (производной) меры рг относительно ^ и обозначается
В этом параграфе не только исследуются условия абсолютной непрерывности для мер, отвечающих диффузионным процессам, но и вычисляются соответствующие плотности.
Заметим, что если процесс ?(0 = 1(^> со) задан на некотором вероятностном пространстве {?2,©, Р}, то соответствующая
502 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VII!
