Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
488 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Следовательно, при некотором Н справедливо соотношение М [?,. * (s) -Ь',х (s)]2 < ЗМ \lu х it') - * |2 +
+ н\М[Ъ,х(и)-&,х(и)]Чи, t'
из которого вытекает неравенство
М &. * (s) -h',x (s)]2 < ЗМ | &., (О - * I2 е*
Но М | li,x ((') — х |2 = О (/' — t) равномерно на каждом компакте
на основании леммы 2 § 2. Следовательно,
М\hx(s)-h',x(s)l2 = 0(t'~t).
Используя (4) и (6), можно получить аналогичные оценки и для
~дх * (s)• ~дхг х
Объединяя утверждения замечаний 1 и 2, получаем следую-
щую теорему.
Теорема 3. Если lt,x(s)— решение уравнения (14) § 2, коэффициенты которого a(t,x), bi(t,x), ..., bm(i,x) удовлетворяют условиям теоремы 2, а функция f(x), определенная на 3lm, непрерывна, ограничена и имеет непрерывные и ограниченные производные до второго порядка включительно, то функция
и (t, х) = М f(lt.x(s)),
определенная при i0 ^ t sc: s, х е &m, непрерывна и имеет производные по х до второго порядка включительно, непрерывные по совокупности переменных t, х.
§ 4. Метод дифференциальных уравнений
В этом параграфе выводятся дифференциальные уравнения, позволяющие определить распределения некоторых функционалов от диффузионных процессов. Попутно дается новый вывод первого (обратного) уравнения Колмогорова для диффузионных процессов.
Пусть l(t) — решение уравнения (13) § 2. Как установлено в § 2, условное распределение процесса ?(s) на [t, Т] при условии, что \{t) = x, совпадает с распределением h,x(s). Будем обозначать М*. *1] условное математическое ожидание случайных величин т|, являющихся функциями от траектории процесса l(s) на [f, Г], при условии, что \{t) = x. Из сказанного выше вытекает, что
Mt,
§ 4] МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 489
где f| — величина, полученная из т] подстановкой вместо траектории |(s) траектории |г, a;(s). Для определения вероятностей перехода процесса достаточно определить
Мt, *<р (?(«)) = ^ Ф (у) Р (t, х, s, dy)
для достаточно гладких функций (р.
Теорема 1. Пусть для процесса |(t) выполняются условия теоремы 2 § 3, функция ф(х) ограничена, непрерывна и имеет ограниченные и непрерывные производные до второго порядка включительно. Тогда функция
u(t, x) = M,,*qp(|(s)), fG[/0, s),
имеет непрерывные производные по до второго порядка включительно, дифференцируема по t, удовлетворяет уравнению
ТП
~~~ и (t, x) + Yal (t, х) -?ju (t, x) -f
dt 1 dxl
i = 1
m
+ J Z bii‘(t,x)b!At,x)-^~ju{t, x) =0 (1)
k, i, j — \
и условию lim и (i, x) = qp (x). Здесь a1, b[, x‘ — компоненты век-
t^S
торов a, bk, x соответственно.
Доказательство. Дифференцируемость функции u(i,x) по х, а также непрерывность и ограниченность частных производных вытекает из теоремы 3 § 3. Заметим, далее, что
u{t, x) = Mt, xq>(l{s)) = Mt,xMt+Ai, &((+Д()Ф (?(«)) =
= М*.xu(t + At, l(t + А/)).
Используя формулу Ито, можем записать u{t-\- At, ? (t + At)) — и (t + At, | (t)) =
t+Ы г m
= Z s“
t L/=I
m -i
+ T Z bk(s>^)bk(s,t(s))—?-—u(t + At,l(s)) ds-f
k, i, /-1 X X J
490
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
[ГЛ. VIII
Следовательно,
Mf, хиtt + Itt + АО) — М*, хи(t + А/, |(/)):
t + M
с Гт
\ Mt,X ZX(S’
t Ч-1
+j ? 6i(s,i(S))6i(S,i(S))
Так как то
u(t, х) — u(t + At, х) = М*,*
д2
дх1 дх1
-ы(/ + i(s))
к, i /=1
М<, хи ((+ At, | (t)) = u(t + At, x),
m
н d
ds.
? bi (s', I (s')) (s', |(s')) U (t + At, l(s'))
ft,»,/-1 x *
Д/,
где s' — некоторое число из (t,t-\-At).
Учитывая, что df ограничены и s'->f при А^->0,
на основании теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим
• т
Z тт и tt> ? (0) а‘ ? (0) +
А/
М,,;
2 t ^ д*! дх!
k, i, 1 = 1
Уравнение (1) установлено. То, что М;, хср(|(s)) ->• ср(х), вытекает из соотношения М<, *qp (| (s)) = Мер (?*, * (s)) и непрерыв: ности lti x(s). В
Установим теперь уравнения, позволяющие определить распределение случайной величины
