Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гихман И.И. -> "Введение в теорию случайных процессов" -> 194

Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.

Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов — М.: Наука, 1977. — 570 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriusluchaynihprocessov1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 214 >> Следующая


I [/] == lim (x) \i„k (dx)

k-+oo J

остается справедливым для всех /. Как предел последовательности линейных неотрицательных функционалов, I [/] также является линейным неотрицательным функционалом на 92х- Поэтому в силу теоремы о виде линейного функционала на пространстве х (см., например, Р. Эдварс [1], стр. 285) I [/] представимо в виде

МЛ = \f (х) Ц (dx),

х

где jjt — некоторая неотрицательная счетно аддитивная функция множества. Значит, ц, — мера и \ink слабо сходится к ц. ¦ Приступим к доказательству теоремы.

Выберем последовательность ет —>¦ 0 и компакты Кcz с: К{-т+х\ для которых sup (X \ К(т)) ^ еп. Положим

П

р<ап> (А) = (д.п (Л П К(т)).

Выберем последовательность п{?> так, чтобы последовательность мер слабо сходилась к некоторой мере ц.П). Опреде-

лим последовательности п(р так, чтобы пбыла подпоследовательностью и последовательность иД> слабо сходилась

4]

к некоторой мере цУ). Так как и совпадают на

K(i~l), то var| — ц</+р) 1=^28/; значит последовательность ц(,)

сходится по вариации к некоторой мере ц. Покажем, что ц <*(

k

слабо сходится к ц. Действительно, для всякой ограниченной
518

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

[ГЛ. IX

непрерывной функции

lim К f (.v) [a w (dx) — \ f (х) ц (dx) <

| J nk J

< lim \ f (x) ц {k)(dx) — \ f(x)\i(dx) +

k->oo J nk J ,

K{m) к\т)

+1| f || Qim |V?) {X \ K™) + li(X\ #<->)) < 21| f || em.

Достаточность условий теоремы установлена.

Для доказательства необходимости нам понадобится Лемма 2. Каково бы ни было е > 0, можно указать такой компакт К, что \а(Х\К) < е.

Действительно, пусть {Xk, ?=1,2, ...} — всюду плотная последовательность в X, Si — сфера радиуса 1/2™ с центром' в Хи- Так как

Необходимость, а) Если ц„ слабо компактна, то \ 1 • (dx)

ность |хп(Х) ограничена.

Предположим, далее, что последовательность цп слабо компактна, но условие б) не выполнено. Заметим, что условие б) эквивалентно следующему: б') для всех е > 0 и б > 0 существует компакт К, для которого sup \ Кв) < е, если К& обо-

значает совокупность точек х, расстояние которых от К не превышает б. То, что из б') вытекает б), очевидно. Обратно, пусть Kyi — компакт, для которого

k

то для всякого п можно указать такой номер ?„, что

Полагая К = [~| U $1, получим компакт, для которого

П=1k~\

компактное числовое множество, следовательно, последователь-

п

sup ра(Х\К®)<г/2Г.
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

519

Тогда П К'(Ц. будет компактом, для которого выполняется уело-

Г

вне б). То, что условие б') не выполнено, означает следующее: существуют такие е > 0 и 6 > 0, что для всякого компакта К будет sup цп (X \ К&) > е.

П

Обозначим через К(0} компакт, для которого ^ (Х\ К(0)) < е (существование такого компакта К{0) вытекает из леммы 2). Так как sup \in (X \ > е, то найдется такой номер и,, что

(X \ К§>) > е, а значит, найдется и компакт Kil), для которого М-п, (/С(1)) >е и К{1) cz Х\ К{$] (опять на основании леммы 2). Так как sup (X \ \ > е, то найдется номер п2 и компакт

П

К{2) czX\K$) \ такие, что цДг(/С(2)) > е. Продолжая этот процесс, выберем последовательность номеров п,- и компактов /С(/>

так, чтобы [хп (Ки)) > е и K(l)c^X\ (J = X \ (J /С(г)"| . Обо-/ (=0 L г =0 Jfl

значим через у,{(х) непрерывную, неотрицательную, ограниченную единицей функцию, равную нулю на X \ и равную 1 на K{i). Так как расстояние между каждыми двумя компактами последовательности Ки) не менее 6, то функции (х) при различных i не могут быть одновременно отличными от нуля. Выберем из последовательности ц„ слабо сходящуюся последовательность \i'k. Пусть она сходится к ц, Так как мера ц конечна, a YjXi(x) непрерывна и ограничена, то i

оо оо

5 Y %i W .U (dx) = Y \ Xi M 'U ^ < °°

i = l f = 1

oo

и, значит, lim V \ (x) jj, (dx) — 0. С другой стороны,

p->co f—* j

l~p

oo

S Y W Pk{dx) > l\’ ^ e 0* = IV).

i = p

как только np¦ > p, и, значит, для всех р

со со

Y S ^ М I* {dx) = Jim Y 5 Xi (x) v.'k (dx) > e.

i=p " i-p

Полученное противоречие убеждает нас в необходимости условия б). В
Предыдущая << 1 .. 188 189 190 191 192 193 < 194 > 195 196 197 198 199 200 .. 214 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed