Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):


I [/] == lim (x) \i„k (dx)
k-+oo J
остается справедливым для всех /. Как предел последовательности линейных неотрицательных функционалов, I [/] также является линейным неотрицательным функционалом на 92х- Поэтому в силу теоремы о виде линейного функционала на пространстве х (см., например, Р. Эдварс [1], стр. 285) I [/] представимо в виде
МЛ = \f (х) Ц (dx),
х
где jjt — некоторая неотрицательная счетно аддитивная функция множества. Значит, ц, — мера и \ink слабо сходится к ц. ¦ Приступим к доказательству теоремы.
Выберем последовательность ет —>¦ 0 и компакты Кcz с: К{-т+х\ для которых sup (X \ К(т)) ^ еп. Положим
П
р<ап> (А) = (д.п (Л П К(т)).
Выберем последовательность п{?> так, чтобы последовательность мер слабо сходилась к некоторой мере ц.П). Опреде-
лим последовательности п(р так, чтобы пбыла подпоследовательностью и последовательность иД> слабо сходилась
4]
к некоторой мере цУ). Так как и совпадают на
K(i~l), то var| — ц</+р) 1=^28/; значит последовательность ц(,)
сходится по вариации к некоторой мере ц. Покажем, что ц <*(
k
слабо сходится к ц. Действительно, для всякой ограниченной
518
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
[ГЛ. IX
непрерывной функции
lim К f (.v) [a w (dx) — \ f (х) ц (dx) <
| J nk J
< lim \ f (x) ц {k)(dx) — \ f(x)\i(dx) +
k->oo J nk J ,
K{m) к\т)
+1| f || Qim |V?) {X \ K™) + li(X\ #<->)) < 21| f || em.
Достаточность условий теоремы установлена.
Для доказательства необходимости нам понадобится Лемма 2. Каково бы ни было е > 0, можно указать такой компакт К, что \а(Х\К) < е.
Действительно, пусть {Xk, ?=1,2, ...} — всюду плотная последовательность в X, Si — сфера радиуса 1/2™ с центром' в Хи- Так как
Необходимость, а) Если ц„ слабо компактна, то \ 1 • (dx)
ность |хп(Х) ограничена.
Предположим, далее, что последовательность цп слабо компактна, но условие б) не выполнено. Заметим, что условие б) эквивалентно следующему: б') для всех е > 0 и б > 0 существует компакт К, для которого sup \ Кв) < е, если К& обо-
значает совокупность точек х, расстояние которых от К не превышает б. То, что из б') вытекает б), очевидно. Обратно, пусть Kyi — компакт, для которого
k
то для всякого п можно указать такой номер ?„, что
Полагая К = [~| U $1, получим компакт, для которого
П=1k~\
компактное числовое множество, следовательно, последователь-
п
sup ра(Х\К®)<г/2Г.
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
519
Тогда П К'(Ц. будет компактом, для которого выполняется уело-
Г
вне б). То, что условие б') не выполнено, означает следующее: существуют такие е > 0 и 6 > 0, что для всякого компакта К будет sup цп (X \ К&) > е.
П
Обозначим через К(0} компакт, для которого ^ (Х\ К(0)) < е (существование такого компакта К{0) вытекает из леммы 2). Так как sup \in (X \ > е, то найдется такой номер и,, что
(X \ К§>) > е, а значит, найдется и компакт Kil), для которого М-п, (/С(1)) >е и К{1) cz Х\ К{$] (опять на основании леммы 2). Так как sup (X \ \ > е, то найдется номер п2 и компакт
П
К{2) czX\K$) \ такие, что цДг(/С(2)) > е. Продолжая этот процесс, выберем последовательность номеров п,- и компактов /С(/>
так, чтобы [хп (Ки)) > е и K(l)c^X\ (J = X \ (J /С(г)"| . Обо-/ (=0 L г =0 Jfl
значим через у,{(х) непрерывную, неотрицательную, ограниченную единицей функцию, равную нулю на X \ и равную 1 на K{i). Так как расстояние между каждыми двумя компактами последовательности Ки) не менее 6, то функции (х) при различных i не могут быть одновременно отличными от нуля. Выберем из последовательности ц„ слабо сходящуюся последовательность \i'k. Пусть она сходится к ц, Так как мера ц конечна, a YjXi(x) непрерывна и ограничена, то i
оо оо
5 Y %i W .U (dx) = Y \ Xi M 'U ^ < °°
i = l f = 1
oo
и, значит, lim V \ (x) jj, (dx) — 0. С другой стороны,
p->co f—* j
l~p
oo
S Y W Pk{dx) > l\’ ^ e 0* = IV).
i = p
как только np¦ > p, и, значит, для всех р
со со
Y S ^ М I* {dx) = Jim Y 5 Xi (x) v.'k (dx) > e.
i=p " i-p
Полученное противоречие убеждает нас в необходимости условия б). В



