Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Мы будем рассматривать случаи, когда процессы непрерывны с вероятностью 1 или с вероятностью 1 не имеют разрывов второго рода.
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
515
В каждом из этих случаев рассматривается свой класс функционалов.
Предельные теоремы для случайных процессов важны не только для определения распределений функционалов от предельного процесса с помощью предельного перехода от более простых процессов. Не менее естественно использовать непрерывные процессы для описания предельного поведения дискретных процессов: процессы с независимыми приращениями — для описания последовательности сумм независимых случайных величин, непрерывные процессы Маркова — для описания цепей Маркова с дискретным временем. В этом случае мы будет рассматривать предельный переход от процессов, у которых изменения происходят лишь в некоторые фиксированные моменты времени, к процессам, непрерывно меняющимся во времени, при условии, что расстояния между моментами, в которые происходят изменения допредельных процессов, стремятся к нулю. Для таких процессов будут также рассмотрены условия слабой сходимости.
§ 1. Слабая сходимость распределений в метрическом пространстве
Пусть реализации процессов ?п(0 и |(0 е [а> Ь]) принадлежат с вероятностью 1 некоторому функциональному метрическому пространству X с метрикой рх(х, у), х, у ^ X. Например, если ln(t) и l(t) с вероятностью 1 непрерывны, то они принадлежат пространству Ф непрерывных функций с метрикой
(х, у) = sup \x(t) — y(t)\.
В качестве класса функционалов F, для которых ищутся условия сходимости распределения /(?«(0) к распределению мы принимаем совокупность непрерывных в метрике рх функций на X. Для того чтобы /(?(0) была случайной величиной, достаточно потребовать сепарабельности пространства X и измеримости множества {со: относительно исходного
вероятностного пространства для всякой открытой сферы S пространства X (так как в этом случае будет измеримым и множество {оо: Для всякого борелевского А из X).
В дальнейшем мы будем считать X сепарабельным пространством, а процессы ?П(0 и %(t) удовлетворяющими сформулированному выше требованию. Случайному процессу %(t) (?п(0) будет соответствовать мера (г (fxn), определенная на сг-алгебре 33 всех борелевских подмножеств следующим соотношением:
516
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
Для всякого ограниченного ^-измеримого функционала / выполняется соотношение
М f Ц (0) = \ f (х) ц (dx).
Заметим, что для сходимости распределений /(?„(/)) к Рас' пределению f(l(t)) для всех непрерывных функционалов необходимо и достаточно, чтобы для всех непрерывных ограниченных функционалов f
lim \ f{x)\in(dx) = \f{x)n{dx). (1)
ОО J J
Действительно, из сходимости распределения /(?и(0) к Рас‘ пределению /(?(/)) и ограниченности f вытекает сходимость М/(?„(/)) к М/(?(/)), а значит, и соотношение (1). С другой стороны, из (1) вытекает, что для всякого непрерывного функцио-, нала / характеристическая функция величины f{ln{t)) сходится к характеристической функции величины f(l(t)):
Hm Mertf(5»(<,)=lim \ eaf'ix)nn(dx) = \eaf'{x) ц (dx) = Meafl11 W).
OO Tl~> OO J j
Определение. Если для всех непрерывных ограниченных функций /(х) выполнено (1), то говорят, что последовательность слабо сходится к мере ц, и пишут |ля =#> ц-Определение. Последовательность мер цп называется слабо компактной, если из всякой ее подпоследовательности можно выбрать слабо сходящуюся последовательность мер-.
Теорема 1. Пусть X — полное сепарабельное пространство, 0 — о-алгебра борелевских множеств. Для того чтобы последовательность мер [in на 0 была слабо компактной, необходимо и достаточно, чтобы
а) sup цп (X) < оо;
П
б) для всякого е > 0 существовал компакт К такой, что suP ]xn(X\K) < е.
П
Для доказательства теоремы нам понадобится
Лемма 1. Пусть X — компакт и sup (X) = Н < оо. Тогда
П
последовательность мер слабо компактна.
Доказательство. Пусть ffx — пространство непрерывных функций f на X, || /1| = sup | / (х) |, Ч?х — полное нормированное
сепарабельное линейное пространство. Обозначим через {fk}, ?=1,2,..., всюду плотную в последовательность. Диагональным методом можно выбрать такую последовательность мер
§ 1] СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 517
Ипк, чтобы для всех i существовал предел
lim \ fi{x)nnk{dx) = t[fi]. k->00 J
Так как
!/[/<]-/[/,п.
то I [/,] — равномерно непрерывный функционал на множестве
{/й}, ?=1,2.......и, следовательно, он может быть продолжен
по непрерывности на все пространство tfx'- I [/] = lim /Г/n.I.
fni* f
При этом соотношение
