Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
= М \ e-uf{U(t))%{xx>t)dt, (5)
о
где хх — момент первого выхода процесса %х (t) из области G (хх = + оо, если (/) е G для всех t).
Доказательство. Пусть t <хх. Тогда, применяя формулу Ито к функции e~uuk(lx(t)), получим
<
u\(lx(t))e~kt — %(*) = ^ [— Xe~Ksu^{lx(s))ds +e~f-sLluK(lx(s))]ds +
о
m I m
+ Z § (s)) bki (S* (s)) dwk (s). (6)
k~i о г-i x
Пусть — момент первого выхода из компактного множества Fп, где Fn — возрастающая последовательность компактов, для которой (J Fn — G. Тогда А Т < хх и при s < xf] А Т ве-
П
ди«
личины yy(i*(s)) ограничены. Подставляя в (6) t = x{?)AT и учитывая (4), найдем
х^АТ
ЬЧ (I, А Т))е~и(? ЛГ - ик (х) = - М J e-bf (?* (s)) ds.
о
Переходя к пределу при оо, получим
т ХЛТ
ть(1х(гхАТ))е-кх*АТ-ик(х)~-М \ f(lx(s))e^ds. (7)
§ 5] ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 497
Заметим, что
lim (т* А Т))е~и*лг = О,
Т-* оо
так как при хх конечном и^ (?* (т*)) = 0, поскольку |,(т,)еГ, а при хх = + оо
I Ч (I, (т, Л Т)) | в'** Л г < sup | щ,(у) | е-№ -* 0.
У
Кроме того,
IЩ, (?* (т* Л Т)) | е~и* л т < sup | и% (у) |.
у
Значит,
lim Мы* (6* (т* Л Т)) е~Хх* л г = 0.
Т-> оо
Переходя в (7) к пределу при Т-+оо, получим доказательство теоремы. В
Для того чтобы найти совместное распределение величин т и |(т), достаточно знать Ме_Ялл|з(|(т)) для Я>0 и всех достаточно гладких функций -ф, заданных на Г.
Теорема 4. Пусть функция vx (х) определена, ограниченна и непрерывна на GUT, дважды непрерывно дифференцируема в G и в G удовлетворяет уравнению Xvk{x) — (*) = 0 (Я^О).
Если vk(х) = 1|з(*) при хеГ, то
vх М = Ме-Я,т^ Цх (т*)).
Доказательство. Используя формулу Ито, для функции e~uVb{lx{t)) находим при t < хх
m Р m Я ft 1Л\
oxtt*(0)e~M —= ) Z dxi ' bki ^ dWk
k-l 0 ?-1
Точно так же, как и при доказательстве теоремы 3, получаем отсюда равенство
ММ!* Ю) e~*‘x* = vK (*)•
Остается заметить, что ^(|х(тх)),=='Ф(1х('г^)). так как|х(тх)еГ. В Замечание 1. Полагая Х — 0, можем найти распределение |(т): М^ф Цх {хх)) — v (л:), где у (л:) — непрерывная ограничен-
ная функция в G U Г, удовлетворяющая уравнению /,1и(л:) = 0 внутри G и равенству а (*) = (*) при х е Г.
Замечание 2. Положим -ф(л:) = 1. Тогда vx{x) = Me- т*. v^(x) — функция, непрерывная и ограниченная в GUT, удовлетворяющая условию vK(x)— 1 при 1:еГ и уравнению
XvK{x) — LlvK(x) = 0. (8)
498 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ {ГЛ. VIII
Продифференцируем это соотношение по А и положим А = 0. Пусть — -^пл,(х)!л=0 = М1(х). Тогда М, (х) = Мт*; из (8), учитывая равенство и0(х) = 1, получаем
/,,ЛМх) = -1,
М] (х) = 0 при хеГ.
Пусть Мх(х) — функция, непрерывная и ограниченная в G{j Г, дважды непрерывно дифференцируема в G, М!(х) = 0, хеГ, LlMi (x) = — 1. Тогда
Мт х = Мх{х). (9)
Чтобы убедиться в этом, применим формулу Ито к функции Mi(l*(0) При fe[0, т';11]:
х{п) х(п)
* m * m
= $ L\Mi (I* (s)) ds + J YalbMl^x ^ bki ^ dWk ^ =
fc-1 0 i-1
-•(«)
m Z
= -^n) + Z \ MAlx{s))bki{lx{s))dwk{s).
ft=I 0
Беря математическое ожидание и переходя к пределу при п-+оо, устанавливаем (9).
Пусть функция Mn_i(х) = М(тх)п~х непрерывна в GUT. Если существует такая непрерывная в GUT и дважды дифференцируемая в G функция Мп(х), для которой Мп(х) = 0 на Г и
Ь\Мп (х) == — nMn-i (х),
то Мп(х) = Ы{хх)п- Действительно, аналогично предыдущему получаем
л
Мп (х) = М ^ nMn-l Цх (s)) ds.
Заметим теперь, что при s < хх (s) = tx— s(no истечении
времени s процесс ?*(•) попадет в точку S*(s), и до выхода из области G останется времени на s меньше, чем с начального момента времени). Поэтому при s < хх в силу марковости процесса
M[(T,-Sr'!y-AWUs)),
