Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Цель этого параграфа — доказать, что функция ^,*(5), введенная в предыдущем параграфе как решение уравнения (14), является дифференцируемой функцией х при достаточно гладких коэффициентах a(t,x) и bk(t,x). Так как lt,x{s) — случайная функция х, то нужно уточнить, в каком смысле будет пониматься производная от Для наших целей удобно рас-
сматривать среднеквадратическую дифференцируемость случайных функций. Если ф(л:, ш) — случайная функция, зависящая от точки х пространства 3?т, а хх, ..., х1П — координаты точки
х, то под -^т- мы будем понимать такую случайную величину, дх
для которой
Как и в предыдущем параграфе, мы дадим полные доказательства лишь для одномерных процессов.
Теорема I. Пусть функции a (t, х) и a(t,x) определены и непрерывны при x<^3lx, и имеют непрерывные ограни-
ченные частные производныеa'x{t, х), axx{t, х), o'x{t,x), oxx(t, х).
m
d\ (t) = a (1 (0) dt -f Yi bk (? (0) dwk (t),
A= 1
(15)
m
lim M —г [ф (л:1, ..., xl -f Ax1, ..., xm, со) —
Дхг->0 Да:
482
ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
|ГЛ VIII
Тогда решение h,x(s) уравнения (6) § 2 дважды дифференцируемо по х, причем производные непрерывны по х в среднем квадратическом.
Доказательство теоремы будет опираться на следующую лемму.
Лемма 1. Пусть процессы (/), п — О, 1, ..., являются решениями стфхастических уравнений
?« (О = Фп (О + ^ 'Фл 00 ?« (s)ds + 5 х" ^ (s) dw (s)• (1)
Функции фn(t), я|з„(0 и %„(0 при каждом t измеримы относительно 5'*, sup М | ф„(0 I2 < о°, и существует такое К, что с ве-
роятностью 1 [ я|з„ (s) | ^ К, I Хп (s) | ^ К- Если при п —> оо
sup М | ф„ (0 — Ф0 (О I2 ->¦ 0 и при каждом t o|jn (0 -> а|з0 (t), хп (t)-+Xо (О
t
по вероятности, то и sup М | ?„ (О — ?0 (О I2 0 при п-+оо.
Доказательство. Отметим, во-первых, что точно таким же образом, как и при доказательстве теоремы 1 § 2, доказывается существование и единственность решения уравнения (1), а также то, что в этом случае sup М J Сл(0 |2 < °о. Поэтому можем
записать
м | ш - Со (О12<ЗМ| ф „(О - фо (О I2 +
+ зм [o|>„ 00 С„ 00 — -фо 00 Со 00] ds +
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ РЕШЕНИИ 483
где
б„(0 = ЗМ|ф„(0-фо(0 Р +
t
+ 6 (t — t0) ^ М I go (s) I21(s) — -фо (s) I2 ds +
t
4- 6 5 MI So (5) |2| (5) — 5Co (5) ?ds.
t'i
Так как
sup 6„ (/) < 3 sup M! ф„ (/) — Фо (/) P + t t
T
+ 6 (T — tQ + I) 5 M | So (S) I2 (I (s) — 'Фо(s) I2 +1 In (s) - Xo (s) I2) ds,
u
to 6n(0 равномерно относительно t стремится к нулю (интеграл стремится к нулю по теореме Лебега, так как подынтегральная функция ограничена величиной 4i<C21 ?0 (s) 12 и стремится к нулю по вероятности).
Если положить Н — 6К2(Т — /оЧ- 1), то
t
М11п (/) — ?о (О I2 < sup 6„ (0 + Я \ М Цп (s) - io (s) f ds.
* и
Тогда в силу леммы 1 § 2
м I in (0 - So (t) i2 < sup 6„ (t) e" t
Последнее неравенство доказывает лемму, g Замечание. Лемма остается справедливой, если процессы будут зависеть от непрерывного параметра а и соответствующие пределы будут существовать при а->0.
Приступим теперь к доказательству теоремы. Положим
ix. Ах (S) = "д7 Х+Ах (S) ~ if, J *
Тогда процесс ix Ax(s) будет решением уравнения
S S
ix, A* (S) = 1 + S % Ах («) ix, Ах («) du + J %Xi Ах (и) ^ Ах (и) dw (и),
где
м а (s- h, *+Д* (s)) “ а (s> if, * (s))
If, *+a* (*)-?*, t(s>
M — g(S’ *+A*(S>)-g(*» h,x(S)) %x’b*{) h,x+Ax(°)-$t,As)
484 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Так как a{s, х) и ct(s, х) имеют ограниченные производные по х, то существует такая постоянная К, что с вероятностью 1 и |х*,дл(5)|<^- Поэтому
?
м I 4, (») Р < 3 + 3 (7- - Q 5 | ^ 4 , (») р Ли +
t
S S
+ 3*2 5 М I е*. А, (“) Р du < 3 + Н 5 М I lXi Aje (U) |2 du, t t
где H = 3(T —10-{-1)К2. Из леммы 1 § 2 вытекает, что М|^,д
и, следовательно, при некотором Нх
М |S«, « U) f < Н, (Длг)=. (2)
Последнее соотношение показывает, что|, *+д*(5)—\t *(«)-> О по вероятности при Дл:-»-0, поэтому
Ь. Ах (S) -* а'х 0> h х Щ’ Ъ, АХ (S) < 0> h х (s))
по вероятности при Дя-*0. Обозначим через ?*(«) решение уравнения
S
