Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно,
1 = МРо. и (<») М (р^ и (о) М (р<; т (со) | | (3)
§ 6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 505
Если бы с положительной вероятностью выполнялось неравенство М (Р*,. ,>)!§,,) < 1, то, в силу следствия 1, и правая часть (3) была бы строго меньше 1.
Перейдем к доказательству теоремы. Будем обозначать математическое ожидание по мере Р через М. Для любой случайной величины ?(со) на {^. @}
М| (со) = М| (ю) р (ю).
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при ti < t2 и любых вещественных zh
М ^ехр |г ? (wk(t2) - wk (/,)) zkj |gt^ =
= exp | 2" (^2 ^i) z'k 1
k-l '
Другими словами, для всякой ограниченной §*,-измеримой величины У]
Мп ехр |г ? {wk (/2) - wk (/,)) zftj = ехр j - \ (/2 - /,) ? z| J Мт].
(4)
Из следствия 2 вытекает, что для ^-измеримой величины |
М| = М|р0, t (<в)р<>г (со) = M|p0,f (со) М (р(, т (ю) |g*) = М|р0, < (со), поэтому (4) эквивалентно равенству
Мт)' ехр {г ? (wk (t2) - wk (/,)) г\ р,ь tj (to) = k-\ '
= exp|-y(/2-/,)? (5)
где r\' = rip0 t (со) — ^-измеримая величина, для которой М | ц' | < оо.
По формуле Ито
506 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Поэтому
ехр |/ ? (t2) - wk (/,)) zk| pti> u (со) =
h f rn 1
= 1 + 5 exp ]i ? (wk (t) - wk (/.)) zk J p(! t (со) X
г m m
X \i Z zb dwk (0 + Z fk (0 (0 —
L ft=i й-i
m /2 ( fn 'b
- т Z exP }г' Z (й* (0 - ® A (O) zk ( Р»t (®)dL k~\ tv ^ ft-1 ^
m
Пусть X Тогда в силу леммы 1
k—\
М ( J ехр ji ? (wk (t) - wk (/,)) z, j pti> tj (со) X
m \
x Z (izk + fk (0) (01SJ = 0.
A-l '
Значит,
Мл' exp j/ ? (й), (/2) - ф* (/,)) zk| ptii tj (co) =
m t, f m -J
= MV-4Z Мл'exp] / ^
A-l <i *• k-l '
Полагая
Мл' exp {/ ? (®* (/2) - wk (/,)) z*} ptii ts (со) = Я (72), находим
m it
я (/2) = Мл' — у Z 4 $ MO
л-i ti
откуда
Я (/2) = Мл'ехр I — j Z zl & “ <i)} •
V A-l '
Тем самым формула (5) при сделанном предположении относительно fk{t) доказана.
§ 6J АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 507
Пусть теперь (t) удовлетворяют условиям
т
2 [ff> n
11 г „
S? (МО-ft"1 (О? л-о
0 fe-I
при N-+oot Положим
t
wW (t) = wk (t) — J ff-1 (s) ds,
0
f m ft t2 m \
PB, M = exp ? J fj» «) to, (/) - 1 J ? (fjo (())> Л .
= l <i fi ft-1 '
По доказанному
Мцр'^1 (со) ехр |г ? (д) Л =
= MripW (<в) ехр | - у ? 4 (*2 - *,)]>. (6)
*¦ k-i '
Поскольку w{W{t)-+wk{t), k = \, ..., tti, по вероятности, то Нт Мг1р0 ( (со) ехр (/ ? (w‘f (Q - (/,)) zft] =
N->oo V. k~ 1 У
=Miip0, <2 н exp {» 2 (<2) - (* о) • (7)
Далее,
MflPoflj (®) exP {г‘ jC &) ~ (*i)) ~
- Mrip0_ (j (со) exp E (if (Q - й>^> (/,)) z, j I <
<cM |pW (co)-p0(/l(ffl)|, (8)
I Mrip<^i (со) — Miip0 t[ (со) | < cM | p^ (со) — p0i u (to) I, (9)
где с таково, что | т] | <1 с. Покажем, что
lim М|рИ(<о)-р ((о)| = 0. (10)
N-+ оо 11
508 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Имеем
М | (ш) - Ро, t (©) | = М (| р<") (со) - p0i t (ш) | + р0> t (о) - р<"> (to)),
так как МРо, t (со) = М<) (со) = 1. Но
| Pofi (и) - Ро, t Н | + Ро, t (®) - Рол М < 2Ро, t н
и рМ (о) — р0> {(о) -*¦ 0 по вероятности. Поэтому (10) выполняется в силу теоремы Лебега. Переходя к пределу в равенстве (6) с учетом (7), оценок (8) и (9) и равенства (10), получим
