Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
т
t{s))ds,
to
где f{s,x) — достаточно гладкая функция, a ?(s)—процесс, являющийся решением уравнения (13) § 2. Введем функцию
Vx tt, х) = М,, * ехр | % {j f (s, | (s)) ds j. (2)
§ 4] МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ ^д|
Для определения распределения величины J достаточно определить функцию v%(t,x) при /е[/0, Т], и всех мнимых К,
так как тогда v%(t0,x) даст нам условную характеристическую функцию величины / при условии l(t0) = x. Проинтегрировав i\(t0,x) по начальному распределению, получим безусловную характеристическую функцию величины /.
Теорема 2. Если l(t) удовлетворяет условиям теоремы 2
§ 3, a f(t, х), -j-f(t,x), dJdxi f(t, х) (i, /= 1, • • •. m) непрерывны и ограничены, то при /е[/о. Т\ функция vx(t,x) удовлетворяет уравнению
m
— Vk (t, х) + Z а‘ V’ X) X) +
1*1
и условию lim vK{t, x)— 1.
iJt-T
Доказательство. Последнее условие выполняется очевидным образом. Непрерывность и дифференцируемость Vx(t,x)
и непрерывность и ограниченность производных — х),
дх'
д2
—r—rvK(t,x) вытекает из формулы (2) и дифференциру-дх дх'
емости b,x(s) и f(s,x) по л: точно так же, как при доказательстве теоремы 3 § 3. Из соотношения
I"
К t
Sехр {% (и' ^ ^du} ^ ds=
/ т Л ( т
— ехр S Я ^ f [и, | {и)) du > — ехр j К ^ / (и, | (и)) du
получаем при t'<t", беря Mr, что
492 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. VIII
Но
Mr, * ехр | Я J / (s, I (s)) ds | =
= Mr, Mt",\(t") exp | X J| / (s, i (s)) ds | = Mr, Xvx (t", I (*")). Поэтому
t"
Vi(t', x) — Mt',xvi(t", I (t")) = X J Mr.*/(s, ?(s)) Vb(s, %{s))ds.
t'
Так как
/ (s, If, x (s)) vx {s, I (s)) — / (*', x) vx {t', x)->0 по вероятности при t'-*s, то существует предел t"
lim 1 tr ( Mr, xf (s, I is)) vK (s, I (s)) ds = f (t, x) v% (t, *)'-tr,-*t 1 1 J
t" ¦¦ t'-*t *
Поэтому существует предел
о* (*', х) - Mt, л (Г, | (П)
lim
f___f
r-rvо 1 1
t'->t
1:_ [vl(t',x)-vl(t",x) 1 vk (t", x) — Mt,' xvk (Г, g (Г))1
lim I /// ff ч /// I.
-r io L i—i _ i — t j
t"-t'+o
t'->t
Но, как установлено при доказательстве теоремы 1,
МГ, Л (*"> ? (*")) — v\ (t"> х) ^ [, д us,
А,-----------------in?----------------”2> <'¦*>
г->< г“>
th
+ 7 'Z *)^(*. X) ;SdrJ V^, X).
Следовательно, существует предел
vh{t", x)-vx(t', x) d tl ,Л
IT1,. t" — V dt ^ ’ X)
<"-*40
t'->t
u выполняется уравнение (3).
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
493
§ 5. Граничные задачи для диффузионных процессов
Пусть l(t) — решение стохастического дифференциального уравнения вида (12) § 2, коэффициенты уравнения (12) удовлетворяют условиям теоремы 4 § 2, так что решение |(^) уравнения (12) существует и единственно. Пусть D — некоторая связная область в [4, Л X Обозначим через Dt область в 3lm\ Dt — = {х\ {t\x)<=D},
г = inf {s: 5 <= [t0, Т], I (s) Dt),
если множество под знаком inf непусто, и т = Т в противном случае, т является марковским моментом относительно ст-алгебр gt, порожденных величинами l(t0) и wk(s)—wk(t0), k=\, ... ..., m, s e [4, (|. Действительно, обозначим Dc дополнение к D в [4, T\ X &Ln, p((t-,x), Dc) — расстояние точки (t; x) до Dc, Тогда т = sup xn, где
xn = inf {s: p ((s; g (s)), D°) < 1 Jn),
если множество под знаком inf непусто, и т = Т в противном случае. То, что хп — марковский момент, вытекает из равенства
{т„>0 = П{“>: Р((«&; ?Ы). Пс)>Цп},
k
где {sft} — всюду плотное на [to,i] множество. Момент т называется моментом первого выхода из области D. Нас будут интересовать следующие распределения, связанные с т: 1) распределение |(^) при условии, что т > t, 2) распределение т, 3) распределение ?(т).
Обозначим через Lu(t,x) параболический дифференциальный оператор, определяемый левой частью соотношения (1) § 4.
Теорема 1. Пусть функция Ф(^,х) определена и непрерывна на замыкании D П [to, 4] X во внутренних точках этого множества она дважды непрерывно дифференцируема по
