Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
ему мера есть просто образ меры Р при отображении
в пространстве Wio, г]. Для любого множества Seg ц4(В) = Р{со: ?(-,ю)еД}.
Это позволяет строить меры на W[o, т], абсолютно непрерывные относительно щ, отображая с помощью функции ?(•><?) меру
Р(Л)= ^ р(со)Р(Ло),
А
где р(<м)— ©-измеримая неотрицательная функция, для которой
^ р (со) Р {da) = 1
(последнее условие нужно для того, чтобы P(Q)= 1). Обозначим через |(0 случайный процесс, задаваемый функцией l{t,<a) на вероятностном пространстве {Q, ©, Р}, а через ц.|— меру, соответствующую этому процессу на &м,т)- Тогда, если ©^— ст-алгебра в Q, порожденная величинами i(t, со), t е [0, Т\, то d\l
¦^(|(-,а>)) = М(р(со)|©6). (1)
Действительно, для .4s8
Ц| [А) = Р (|( • , со) е А) = ^ р (со) Р (dco) = Мр (со) %А (| ( • , со)) =
А
— Мхл (Б (•,©)) м (р (со) |©?)= 5 м(р (ш) I О1) ^ ц, (dx)
(мы воспользовались тем, что М(р(со)|©^) является функцией от ?(¦)> а математическое ожидание от этой функции есть интеграл по мере ц.^).
Сейчас мы докажем одну теорему, которая позволит описать класс функций р(со), для которых мера в Wio, г], полученная отображением из Р, будет соответствовать диффузионному процессу, если только и процесс l(t, со) на {Q, ©, Р} был диффузионным.
Теорема 1 (Гирсанов). Пусть Wi(t), wm(t) — независимые между собой винеровские процессы, 8?(, 0 ^ t Т, — семейство о-алгебр, для которых gf, <=¦%, пРи h < *2, wk(t) измеримо относительно $t, а величины {^(s^/)— wk(t), s > 0, ft = 1, ,,,, m] в совокупности не зависят от Если
§ 6] АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ МЕР 503
МО........fm(t) — Неизмеримые функции на [0, Т],
Т m
О k-1
( m Т m Т -j
р(ш) = Мехр|? \fk(t)dwk(t) —jJ] \fb№dt\
'•й-l 0 А-1 0 '
и Мр(со) = 1,а
Р [А) = J Р (со) Р (dсо) = Мхл (©) Р (©),
А
то процессы
t
&k (0 = wk (t) — J fk (s) dwk (s)
0
на вероятностном пространстве {Я, Р} являются независимыми винеровскими процессами.
Для доказательства теоремы понадобятся некоторые вспомогательные предложения.
m
Лемма 1. Если ? (t) ^ N, то
Й-1
М ^ехр | ? J fk (s) dwk (s) j < exp {у N (T — /)}. (2)
Доказательство. Пусть fk(s) — ступенчатые функции на [/, Т], }h(s) = fk(Sj) при s е [Sj, Sj+i], t = s0 < Si < ... < sn = Т. Используя равенство
M ^exp fk (s,) [wk (s/+1) - wk (s,)]J | S(/) =
= exP {y E fl (s/) (si+i - s/)| < exP {t n (5/+i -s/)} •
убеждаемся, что
11
M^exp II I, fk (sj) К (S/+l) “ (s/)]| j 5f ):
< exp \\ N (srt-srt_,)} M ^exp | (st) [wk (s/+i)-o>fc(s/)] j j
<expjyW? (sl+l — s/)| = exp|y^(7’ — г1)} • > /-0 }
504 ДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ ггл. VIII
Для неступенчатых функций (2) может быть получено предельным переходом.
Лемма 2. В условиях леммы 1
(( т Т Т m Л I \
ехр ] Z \ fk dWk (s) - y S Z f* ^ds ()=1 •
Vft-1 t t k=1 )l '
Доказательство. Обозначим
( m it U m \
pf„ и (c°)=exp i Z S(s) dw*(s) ~ т S Z (s)ds I •
^ft=I t, t, ft-I J
При^ = ^2 p<iWj(o)) = l. Используя формулу Ито, находим
m
dPf„ t (“) = 9tu t H ? fk (0 dwk (0-k—l
Поэтому
t2 m
p*,. *»=1 + $ pf,. e (®) Z fk (s) dwk (s)-
f, ft-I
Так как в силу леммы 1
U m *2
^ MpJ- s (о) ^ /| (s) ds ^ ^ e2N ds < оо,
t, ft-i
то
/ U m \
mHp^hZ fk(s)d*№isj = 0. в
А-i '
Следствие 1. Каковы бы ни были %-измеримые функ-
Т m
цгш /fe(0, для которых S z wat < °°>
О fs = l
(f m Т Т m -Ч \
ехрjZ Z fUs)ds \ st)<i.
'-ft-i t t k=i * *
Это неравенство является следствием теоремы Фату. Следствие 2. Если Мр0,г(со) == 1, то и при 0^tx <t2<^T
(®)istl) = l.
