Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
lim sup Р( sup \ln{t') — ln{t") | > 61 = 0. (1)
ft-»0 n I I t' — t" |<fc J
Доказательство. Необходимость. Если выполнено утверждение теоремы, то последовательность мер jxn, соответствующих процессам ?п(0> слабо компактна, так что выполнено условие б) теоремы 1 § 1. Поэтому для всякого л > 0 найдется такой компакт К [Н, со6), для которого
sup V.n(^[a,b\\K{H, (Ofi)) = SUpP {in{t)0K{H, COfi)}<T].
n n
Тогда
Если h достаточно мало, то % < e и
lim sup P {| g„ (t') — (t") | > e} < Tj.
h->G n
Ввиду произвольности rj > 0 и получаем (1).
Достаточность. В силу замечания 4 § 1 достаточно доказать слабую компактность последовательности мер и„. Покажем, что для всякого rj > 0 найдется такой компакт д (И, сое), что
supP {|„ (t) ф К(Н, co6)}<Ti.
П
Так как распределение 1„(а) сходится к распределению |(а), то найдется такое Н, что для всех п
P{||»l>tf}<Ti/2.
§ 2] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ 523
Возьмем последовательность ег | 0. Для каждого ег найдем hr такое, чтобы hr < hr-i и
supPf sup \1п(П-1п(П\>*г\<-?т-
п \\t'-t"\<hr ] 2
Пусть сов — неотрицательная невозрастающая функция, для которой со6 = ег при б е [/гг+1, hr). Очевидно, что со61 0 при б j 0. Кроме того,
Р {?„(/) ф. К (Н, ©в)} < Р {11„ (а) | > Н) +
00 оо
+ УР( sup \1п(1')-1п(П\>ег)^}+У-^г^у]. Ш tl^'KAr J 2
Замечание 1. Вместо условия (1) можно требовать вы* полнения условия
lim lim Р( sup \tn(t') — |„(П1>е\=0, (2)
/г. —>0 n-»oo lU' — t"\^h )
которое часто удобнее проверять.
Действительно, из (2) вытекает, что для всякого г| > О существуют такие б > 0 и N, что при га > N, h < б
Р( sup (3)
Из непрерывности процессов ?я(0 вытекает их равномерная непрерывность, так что при каждом га
limPf sup | !„(/') — ln(t") | > e ) = 0.
A->0 J
Поэтому можно подобрать такое б, чтобы при h < б соотношение (3) выполнялось для всех га.
Следующая теорема может оказаться более удобной для применений.
Теорема 2. Пусть конечномерные распределения процессов \n(t) сходятся к конечномерным распределениям процесса l(t) и существуют такие а>0, р>0иЯ>0, что для всех 11( t2 и всех п
М| (4)
Тогда для всех непрерывных на W[a, ь] функционалов f распределение f(?,n(t)) будет сходиться к распределению f(l(t)).
Доказательство. Очевидно, ввиду непрерывности процессов in (t) будет выполняться соотношение
sup li.j(/i) — |„(/2) 1== sup I In (tl) — |„ (h) I.
ti, ti iV
524 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
где N — множество всех точек вида k/2m, принадлежащих [а, Ь\. Если 2/г < — , то
sup 1ЫО-ЫПК
1 / 1 \ / ; \ I
<
V, t"&N It'-t'KA
<2 sup ^ ^1(^L.) - S„(X-) |
oo
<2 ? |бп(-ф-)“6„(-^-)|'
m —ft+1
S
* Где *<™i<™2< ... <rns<m,
r«i
(i™)“(l^) = ('F + Z 2^v)~("F + Z1^7)]‘
;»1 •- ' r-1 y N r = l ' J
Заметим теперь, что
Р{ г SU^+i N"(“1®“) “^(аят)! > -^г|<
la*---<-iii
I» gl» 2m /
так как
2 - r-l
и, значит,
тг“?м |°<
<n^(b-a)2-H^rlTW = L^.
оо
Следовательно, если ^ ft = jjog2 у]+ 1, то
т — к+1
р( sup \ln(ii) — |„(У1>е1<
^ Z P{S“P |“«(“2^~) _ ^п('2я")|> '^2'}^
m-ft+l
„2а
<*• Е S-o
m>?log, -^-]+2
равномерно относительно п при /г->0. В
СХОДИМОСТЬ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
525
§ 3. Сходимость сумм независимых случайных величин к процессу броуновского движения
Рассмотрим последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин ?п1, 1п2, 1пьп, удовлетворяющих условиям:
1) М|„? — 0;
2) Dlnt=*bnl, = 1.
Построим случайную функцию ?n(t), tfe[0, 1], следующим
k k
образом: положим Snh=Y*\ni, *nfe=?&ni,
f = l 1-1
