Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
520 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
Замечание 1. Полнота пространства X использовалась только при доказательстве необходимости условий теоремы. Условия теоремы достаточны для слабой компактности последовательности мер в произвольном метрическом пространстве.
Замечание 2. Если \in слабо сходится к |л, то для всякого множества Ле S3, для которого |я(Л/)=0, где А'— граница А, lim ц„(Л) = [х (Л).
П-> оо
Действительно, возьмем произвольное множество As9. Пусть Л<°> — его открытое ядро (множество всех внутренних точек Л), а [Л] — его замыкание. Если цп слабо сходится к |я, то, выбирая непрерывную функцию f(x0 так, чтобы f(x)= 1 при х е [Л] и
ц(И])> J / (x)ii(dx) — е,
получаем
И (И1) >5 (dx) — е = 1'т ^ f W (dx) — е > Пт цп (^) — е-
Значит, lim ц„(Л) ^ ц ([Л]),
lim ц„ (X \ Л)< ц ([X \ А]), — lim ц„ (Л)< — ц (Л<°>).
Поэтому ___
ц (Л(0>) < lim ц„(Л) < lim ц„ (Л) < ц ([Л]).
Если ц(Л/) = 0, то ц(Л(0)) = ц([Л]) = ц(Л) и, значит,
ц (Л) < lim ц„ (Л) < lim ц„ (Л) < ц (Л). nTS> п->°°
Отсюда и вытекает утверждение замечания.
Замечание 3. Пусть f(х) почти всюду непрерывна по мере [х и цп слабо сходится к ц. Тогда для почти всех а
lim ц„ ({х: f (х) < а}) = ц ({*: f (х) < а}).
оо
Действительно, обозначим через Л0 множество точек разрыва /. Тогда ц(Л0) = 0. Пусть Ga —множество тех х, для которых f (х) < a, a G'a — граница множества Ga:
G' = [(х: f (х) < а}] П [{х: f (х)> а}].
Пересечение множеств G'a и при а < а, содержится в пересечении множеств [{х: f(x) < а}] П [{х: f(x)^s сч}]; поэтому из xeG^nG'i вытекает, что
lim inf / (у) г^а, lim supf(y)^alt
у->х у-+х
§ 2] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
521
т. е.
Следовательно, ц (G' П С' ) = 0, и, значит, для любой последовательности а*
Отсюда вытекает, что существует не более чем счетное множество чисел а, для которых ц (G^) ф 0.
Поэтому для всех а, за исключением, быть может, счетного числа значений, Ga является множеством непрерывности меры (а, так что (in(Gct)-*’ |a(GJ.
Наше утверждение доказано.
Замечание 4. При доказательстве предельных теорем для случайных процессов теорема 1 используется следующим образом. Пусть ?п(0—последовательность случайных процессов, конечномерные распределения которых сходятся к конечномерным распределениям процесса ?о(0- Если цп — меры, соответствующие ?п(0> образуют слабо компактное множество, то
слабо сходятся к мере ji0, соответствующей процессу |о(0-Действительно, в противном случае можно было бы указать такую подпоследовательность чтобы ц слабо сходились к не-— k которой мере ц ф ц0. Пусть |(0—процесс, которому соответствует мера Д. Конечномерные распределения |(/), как предел
конечномерных распределений % (t), совпадают с конечномер-
k
ными распределениями ?о(0. что возможно лишь при Д = (х0, так как меры, соответствующие процессам, однозначно определяются их конечномерными распределениями.
§ 2. Предельные теоремы для непрерывных процессов
В этом параграфе мы будем предполагать, что процессы tn(t) и %(t) непрерывны на отрезке [а, Ь]. Их реализации с вероятностью 1 принадлежат полному метрическому сепарабельному пространству ^[а, ы всех непрерывных на [а, b] функций x(t) с метрикой р(х, у) — sup | x(t) — у (t) |.
Заметим, что в пространстве минимальная ст-алгебра
множеств 91, содержащая все цилиндрические множества, содержит все борелевские множества. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что всякая замкнутая сфера принадлежит 91, так как
а<<<&
ОО
jx: sup |*(*)-“ a(/) Кг} = П {х: \x{tk) — a(4) |<г},
522 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ [ГЛ. IX
где a(t)—произвольная непрерывная функция, a th — произвольная всюду плотная на [а, Ь] последовательность.
Пусть Н — некоторая постоянная, а оэ6 — функция, определенная при б > 0 и удовлетворяющая соотношению cofi j 0 при б 10. Обозначим через К{Н, соб) совокупность функций x{t), для которых
х{а)^Н, V6 > 0 sup | x(t') — x{t") Кюв.
Как вытекает из теоремы Арцела (см. Колмогоров и Фомин [I], стр. 68), всякий компакт в 4>\а, ь] будет замкнутым подмножеством некоторого множества К{Н, шй), которые также являются компактами.
Теорема I. Пусть конечномерные распределения процессов \n{t) сходятся к конечномерным распределениям процесса
l{t). Для того чтобы для всех функционалов /, непрерывных на
Ща,ы, распределение f(|n(0) сходилось к распределению /(?(/)), необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 выполнялось соотношение
