Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. t
2
Полагая р2 = из (13) будем иметь
nA(^)<4dc2p-(2p)"d J Reg(U)d«J VAe=(0, А0]. (15)
П p2
*~1
Замечая далее, что венства (14) получим при рс > 1 П „
при 2g Кс, из нера-
, (*г) < “Г [6 - (2P)"d 5 Re ^(м) d“
L
VAe=(0, AJ. (16)
Таким образом, Щ(52<г) = Щ(^с) + П/,(КС) ^ L, где константа L не зависит от А, А е(0, А0]. Заметим теперь, что в силу условий теоремы функция g(u) непрерывна и g-(0)=0. Поэтому для любого б > О можно найти такое достаточно малое Pi, чтобы
(2р,) d jj Re g (и) du
<6.
В силу неравенства (16) при достаточно большом с nh(Kc)<
< 26 для всех А е (О, А0]. Компактность семейства мер {Щ, A <= е Щ доказана. ¦
Из доказанной теоремы и формулы (10) непосредственно вытекает
Теорема 2. Характеристическая функция ср(и) безгранично делимого распределения в 31й имеет следующий вид:
<р (и) = ехр {g (и)},
где g(u) дается формулой (10).
Приведем другой вариант формулы (10). Пусть с > 0. Так как интегралы (Se — сфера радиуса с>0 с центром в начале координат)
\(и, z)H(dz), J^-n(rfz)
sc Sc
конечны, то
S(e"“-'-i-1^)n№)=
Sid
= ^ (el (u>г) — 1 — i (u, z)) П (dz) + ^ (e‘ (“> г> — 1) П (dz) + i («, a'),
ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
39
где
о!= \zU(dz)- П (Л) = J
S« Sc А
Если положить ас = а + а', то для g(u) получаем представление
Мера П(Л), в отличие от меры П(Л), вообще говоря, уже не является конечной, но П(5С) < оо для любого с > 0 и П{0} = 0. С другой стороны, как это будет показано в дальнейшем, мера ЩЛ) имеет более непосредственный теоретико-вероятностный смысл, чем мера П(Л).
Предположим, что распределения CU(-), соответствующие характеристическим функциям <p(h, и), обладают конечными моментами второго порядка. Вместо мер Щ(Б) введем конечные меры
В силу условий теоремы для любых > 0, 6 > 0 можно указать такое h0 = h0(Nu б), чтобы при h е(0, h0)
для всех «, |«|^ Поэтому можно повторить все рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1, и получить слабую компактность семейства мер Gh(-). Из соотношения
g (и) = i (ас, и) — j (Ьи, и) +
+ J(ei («,*)_! -i(u,z))n{dz)+ J(e*(»¦*)- l)n(dz). (17)
¦i (u, 2) ______
GA(B) = lJ|zpQA(dz).
В
Ф (h, u) — 1 h
iK («) — j («) + J f (u, z) Gh (dz),
где
f (и, z) = (el г> — 1 — i (и, z) + j (u, z)2) yjpp,
А(«) = S WGh{dz)’ ё*{u) = S TFT{dz),
40 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
так же как при доказательстве теоремы 1, получим, что
g(u) = i (a, u) — j (bu, и) -f J [е‘ <“> г> — 1 — г (и, z)\ щ-2 G (dz), (18)
я*
где G(-)—конечная в 31й мера и G {0} = 0.
Мы получили следующее дополнение к теореме 1. Теорема 3. Если дополнительно к условиям теоремы 1 распределения Ол(-) обладают конечными моментами второго порядка, то для функции g(u) имеет место представление (18).
Применим теоремы 1 и 3 к однородным стохастически непрерывным процессам с независимыми приращениями.
Теорема 4. Пусть <p(t, и) — характеристическая функция вектора ?(« + 0—?(s)> s ^ 0, t > 0, где l,(t)—однородный стохастически непрерывный процесс с независимыми приращениями со значениями в 3Zd. Тогда
y(t, u) = ex${tg(u)}, (19)
где g(u) дается формулой (10) (или (17)). Если процесс l(t) обладает конечными моментами второго порядка, то функция g(u) представима по формуле (18).
Доказательство. Так как
| ф (/, и) — ф (s, и) | М | е1 <и> ? (5)) — 1 |,
то из стохастической непрерывности процесса |(<) вытекает непрерывность функции ф(t,u) по t. С другой стороны, в силу однородности процесса |(t) и независимости его приращений
Ф (/, + t2, и) = М ехр {г (и, \ (tx + t2) — I (*i)) + i (и, g (*,) — ? (0))} =
= М ехр {г (и, | (/2) — I (0))} М ехр {г (и, \ (/,) — | (0))} =
= ф(*1. «) • Ф(^2. «)•
Но единственное непрерывное решение уравнения /(/ + s) = = f(t)f(s) (t ^ 0, s ^ 0) имеет вид f(t)=eat. Таким образом,
Ф (t,u) = etsi-u\ При этом g(u)~ lim -------------. Отсюда, в силу
г
теорем 1 и 3, вытекает утверждение теоремы, g
Укажем некоторые частные случаи формулы (19), принимая для g(и) _выражение (17).
а) Ь = 0, П (•) = 0.
В этом случае ф(/, и) = еи(а- “), что соответствует характеристической функции вырожденного распределения, сосредоточенного в точке ta. Таким образом, g(/)=g(0)+a/ и точка l(t) находится в равномерном движении со скоростью а.
