Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
Положим
f(s,x) = Tsti(x), ss[0, fl.
Допустим, что Tsif(x) е 2. Тогда для левой производной по s функции f(s, х) имеем следующее соотношение:
df (s, *)_ _ j. т }(s — h, х) ~ f (s, х) _
ds л^о — л
= _ lim Ts^sf(s, x)- f(s,x) = _ f {s> л+о "
Во многих случаях отсюда вытекает существование произ-„ df (s, х) ,
водной - ¦ —, которая, таким образом, удовлетворяет урав-
нению
df (s, х)
ds
— Asf (s, x), s «= (0, t). (7)
К этому уравнению, в соответствии с определением множества
2, следует еще присоединить граничное условие
lim / (s, х) = f (х). (8)
Если %(В, х)^2, то, положив /(*)= %(В, х), получим, что f(s,x)— P(s, х, t, В) удовлетворяет уравнениям
¦' В)- = ~ Л [Р (s, X, t, В)], s е [0, t],
limP (s, х, t, B) = x(B, x).
s + t
Даже в том случае, когда %(В, х)ш2>, класс функций 2 все же может оказаться настолько широким, чтобы значения Tstf(x) (/^2) однозначно определяли вероятности перехода P(s, х, t, В). Это будет тогда, когда класс 2 всюду плотен в ^(93) относительно ограниченной точечной сходимости функций. При этом, если для уравнений (7), (8) имеется теорема существования и единственности решения для любой функции / ей), то они оп-
§ 4] МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ 49
ределяют вероятности перехода однозначно (на интервале (0,0) и могут быть использованы для фактического определения функции P(s, х, t, В) или для изучения ее свойств.
Уравнение (7) называют первым (обратным) уравнением Колмогорова.
Аналогичные рассуждения применимы и к семейству операторов {fts, t>s>0}.
Обозначим через Ж — Ж(S) пространство всех конечных зарядов на S3, т. е. множество всех конечных счетно-аддитивных функций множеств на S3, а через ?)* — подмножество Ж, состоящее из тех зарядов q(В), для которых существуют пределы
Пт Ь+h я (В) = л*
ft*o п
lim Ts+hsq (В) — q (В) й + 0
для любых (t, B)e[s, <*)Х^о, где 9Эо cz 33, s фиксировано.
Положим q(i, B) = T*tsq(B). Если заряд q (В) таков, что q(t, В)е 2)*, то существует первая производная — ,
причем
дд (t, В) = lim q(t + h, В) q {t, В) = lim Ti+hiq(t, В) - q (t, В)
д* htyo h htyo h 1
так что q(t, В) удовлетворяет уравнениям
= (9)
lim <7 (/, B) = q(B). (10)
t^S
Если %(B, x)^S)*, то уравнения (9), (10) при q(B) = == %{В, х) принимают вид
°РВ) = At [Р (s, х, t, 5)], lim Р (s, х, t, В) = % (В, х).
01 ttys
Уравнение (9) носит название второго (прямого) уравнения Колмогорова. О нем можно высказать соображения, аналогичные тем, которые были приведены в связи с обратными уравнениями Колмогорова.
В дальнейшем вид операторов As и At будет найден для частных классов марковских процессов.
Процессы с конечным или счетным числом состояний. Пусть X— пространство, состоящее из конечного или счетного числа точек, S3 — класс всех подмножеств X. Точки пространства X в этом случае будем обозначать буквами /, k, ... Рассмотрим
50 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ [ГЛ. I
марковский процесс в широком смысле со значениями в X. Положим
p{;(s, t) = P(s, i, t, {/}).
Вероятности pij(s, t), очевидно, определяют вероятность пере* хода для любого множества Bel,
P(s, i, t, В) = ? Pa(s, t).
i^B
Очевидны следующие соотношения:
Pil(s,t)> 0, Z P(/(s. 0=1. Ptj(s, s) = 6<7.
lex
Пусть /(/)—произвольная функция на X. Оператор Tst в рассматриваемом случае действует по формуле
fst(i) = Tsif(i)= Z Pu{s, t)f(j).
/<вХ
Если т — произвольная мера на S3 и m(j)=m({j}), то оператор T*s определяется соотношениями
mts(i) = Тит({}}) = Е m(i)Pij{s, t).
ie=X
Уравнение Колмогорова — Чепмена записывается в данном случае следующим образом:
Pij(s, 0= Z Pik(s, u)pkj{u, 0 (s<«<0-
fceX
Предыдущие соотношения можно записать короче. Предположим, что элементы пространства X каким-либо способом расположены в определенной последовательности. Пусть P(s, t) обозначает матрицу с элементами pij{s, t), f — вектор-столбец с элементами /(г) и, аналогично, т — вектор с компонентами m(i), P*(s, t)—матрица, транспонированная к P(s, t), tn* — вектор-строка (однострочная матрица, транспонированная к матрице tn, состоящей из одного столбца). Тогда
