Введение в теорию случайных процессов - Гихман И.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. I
уже направленную иным образом, чем Tit• Очевидно, 1 = 1 и Tssf = f или Tss = /, где / — единичный оператор.
Определение. Марковский процесс называется однородным, если / = [0, оо) и ядра Psi(лг, В), как функции аргументов (s, t), зависят только от разности t — s:
Pst (х, В) = P,_s (лг, В) (t>s).
Для однородных марковских процессов уравнение Колмо-горова — Чепмена принимает вид
Pu+v (х, В)—^Ри (х, dy) Pv (у, В), и > 0, v > 0. (6)
Семейство ядер {Pt(x, В), t ^ 0} также называют вероят-ностью перехода однородного марковского процесса.
В однородном случае операторы Tt+s, s, Ts, s+t не зависят от s и вместо двупараметрических семейств операторов {Th, t>s>0}, {Tst, 0<s<t} целесообразно рассматривать однопараметрические семейства {П, 0}, {Tt, t > 0}, определяе-
мые с помощью формул
Tttn(B) = J Pt(x, B)m(dx),
Tif(x) = ^f(y)Pi(x, dy).
Формулы композиции (4) и (5) принимают следующий вид:
Г* __ гр* гр* гр гр гр
u+v — ul vi 1 u+v — и* v
Они означают, что семейства операторов {П, t > 0}, {Tt, t> 0} образуют в соответствующих пространствах полугруппу операторов.
Уравнения Колмогорова. Среди наиболее важных задач теории марковских процессов в широком смысле можно назвать следующие:
а) выделение наиболее важных классов (моделей) марковских процессов, обладающих специфическими свойствами, и их описание в терминах свойств вероятностей перехода;
б) конструктивное описание вероятностей перехода, соответствующих данному классу марковских процессов;
в) исследование асимптотических (предельных) свойств вероятностей перехода тех или иных классов марковских про^ цессов.
Разумеется, приведенные формулировки являются весьма общими и неопределенными, а намеченная программа исследований— очень широкой. В настоящем параграфе приводится лишь ряд предварительных результатов.
Первым шагом на пути классификации марковских процессов является их классификация по фазовому пространству.
§41
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ
47
С этой точки зрения простейшими марковскими процессами являются процессы с конечным или счетным числом состояний. В последнем случае, налагая на вероятности перехода некоторые аналитические ограничения, можно линеаризировать уравнения Колмогорова — Чепмена, получив из них системы обыкновенных дифференциальных уравнений (прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова), в ряде случаев и в определенном смысле полностью определяющих вероятности перехода.
В более общих фазовых пространствах можно определять классы марковских процессов в широком смысле, наделяя их вероятности перехода свойствами, отражающими интуитивные представления о характере движения системы в фазовом пространстве. В соответствии с этой точкой зрения вводятся, например, следующие классы процессов:
а) Скачкообразные процессы. Они соответствуют представлениям о системе, которая, попадая в некоторую точку фазового пространства, проводит в ней случайный положительный отрезок времени, после чего скачком случайно попадает в другую точку пространства, в котором она снова проводит случайное время, и т. д.
б) Процессы с дискретным вмешательством случая. Эти процессы представляют собою динамическую систему, траектории которой в случайные моменты времени терпят разрывы первого рода со случайными скачками.
в) Диффузионные процессы. Так называют процессы в конечномерных линейных пространствах, которые на малых промежутках времени ведут себя аналогично процессу броуновского движения.
г) Марковские процессы в конечномерном пространстве, аппроксимируемые на малых промежутках времени произвольным процессом с независимыми приращениями.
При определении различных классов марковских процессов в широком смысле обычно исходят из уже упоминавшейся идеи линеаризации уравнения Колмогорова — Чепмена. Она состоит в том, что на вероятности перехода накладываются условия, позволяющие перейти от нелинейных уравнений (2) для вероятностей перехода к линейным уравнениям. Последние оказываются интегро-дифференциальными уравнениями, либо уравнениями в частных производных параболического типа, либо уравнениями, содержащими как частные производные первого и второго порядка, так и интегральные члены. Приведем общие соображения о способе получения этих уравнений.
Пусть / = [0, /*). Зафиксируем некоторое /е/ и рассмотрим класс ф функций из $(Щ, для которых при каждом
48 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ГГЛ. t
se(0, t), х ^ X существует предел
.. Ts-k, sf(x) - I (х)
lim-------'—и----------= AJ (х)
А + 0 "
и
lim Tt-h, tf(x) = f(x).
А + О
В этом соотношении As есть оператор, зависящий от ss е(0, t) как от параметра, определенный на 2). Очевидно, что 2> является линейным пространством, a As — линейным оператором.
